Teorema de Jensen.

Objeto de estudo da Teoria de Medida e Integração, e outras diversas aplicações, o Teorema (ou desigualdade) de Jensen é muito importante para estudos de espaços de probabilidades e Estatística.

Teorema: Seja ( X, \Sigma, \mu) um espaço de medida com \mu (X)=1. Se a função g:(a,b) \rightarrow \mathbb{R}, com - \infty < a < b < \infty é convexa, e a função f:X \rightarrow \mathbb{R} é mensurável, com f(x) \in (a,b), para todo x \in X, então vale a desigualdade:

\displaystyle g \left ( \int fd \mu \right ) \le \int (gof) d \mu .

Demonstração:  Por hipótese, f é integrável e a < f < b. Aplicando integral nesta desigualdade (lembrando que a e b são constantes), obtemos o resultado \displaystyle a \cdot \mu (X) < \int fd \mu < b \cdot \mu (X). Seja \displaystyle t = \int f d \mu. Então, temos que a < t < b .

Consideremos o conjunto  \displaystyle \beta = sup \left \{ \frac{g(t) - g(x)}{t - x}: x \in (a,t) \right \}. Assim, tomemos um s \in (a,t). Temos que \displaystyle \beta \ge \frac{g(t) - g(s)}{t - s}, ou seja, \beta \cdot (t - s) \ge g(t) - g(s). Tomando um outro número qualquer neste intervalo, seja u \in (t,b), temos que \displaystyle \beta \le \frac{g(u) - g(t)}{u - t}. Logo, \beta \cdot (u - t) \le g(u) - g(t). Ou seja, para todo u \in (t,b) obtemos \beta \cdot (t - u) \ge g(t) - g(u).

Por meio dessas duas desigualdades, concluímos que para qualquer número real \alpha \in (a,b), obtemos a desigualdade \beta \cdot (t - \alpha) \ge g(t) - g(\alpha). Isto implica que:

g(\alpha) \ge g(t) + \beta \cdot (\alpha - t) .

Suponhamos que \displaystyle \alpha = f(x). Obtemos assim:

g(f(x)) \ge g(t) + \beta \cdot (f(x) - t)    (*)

Sendo f mensurável e g convexa (contínua), ou seja, Borel mensurável, temos que gof: X \rightarrow \mathbb{R} é mensurável e integrável. Aplicando integral na desigualdade (*), obtemos:

\displaystyle \int (gof) d \mu \ge \int g(t) d \mu + \int \beta \cdot (f(x) - t) d \mu

\displaystyle \int (gof) d \mu \ge g(t)

\displaystyle \int (gof) d \mu \ge g \left ( \int f d \mu \right )

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