Desigualdade de Minkowski.

A desigualdade de Minkowski é um importante objeto matemático, o qual determina que os espaços de funções integráveis \mathcal{L}_p são espaços vetoriais normados e, além disso, que \displaystyle d(f,g)=N_p(f-g) é uma métrica sobre \mathcal{L}_p .

Teorema: Seja p \in [1,+ \infty) . Se f,g \in \mathcal{L}_p , então:

\displaystyle N_p(f+g) \le N_p(f) + N_p(g) .

Demonstração: Se p=1, então vale a desigualdade triangular |f + g| \le |f| + |g|. Suponhamos, p,q \in (1,+ \infty) tais que \displaystyle \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. Então, podemos escrever p = q \cdot (p-1) e q = p \cdot (q-1)  (\alpha). Aplicando a desigualdade triangular, obtemos:

\displaystyle |f + g|^{p} = |f + g| \cdot |f + g|^{p-1} \le |f| \cdot |f + g|^{p-1} + |g| \cdot |f + g|^{p-1}        (*)

Temos que |f + g| \in \mathcal{L}_p. Então \displaystyle \int |f + g|^{p} < \infty. Isto implica que \displaystyle \int |f + g| \in \mathcal{L}_1. Além disso, |f + g|^{p-1} \in \mathcal{L}_q, onde q = 1, pois \displaystyle \int |f + g|^{p} = \int |f + g|^{q(p-1)} = \int (|f + g|^{p-1})^{q} \in \mathcal{L}_q.

Munidos dessas propriedades, aplicando integral na desigualdade (*) e através da desigualdade de Holder, obtemos:

i) \displaystyle \int |f| \cdot (|f + g|)^{p-1} \le^{D.H.} N_p(f) \cdot N_q((f + g)^{p-1})

\displaystyle \int |f| \cdot (|f + g|)^{p-1} \le^{D.H.} N_p(f) \cdot \left ( \int |f + g|^{q(p-1)} \right )^{1/q}

\displaystyle \int |f| \cdot (|f + g|)^{p-1} \le^{D.H.} N_p(f) \cdot \left ( \int |f + g|^{p} \right )^{1/q}    ( aplicando \alpha )

\displaystyle \int |f| \cdot (|f + g|)^{p-1} \le^{D.H.} N_p(f) \cdot \left \{ \left ( \int |f + g|^{p} \right )^{1/p} \right \}^{p/q}

\displaystyle \int |f| \cdot (|f + g|)^{p-1} \le^{D.H.} N_p(f) \cdot N_p(f + g)^{p/q}

 ii) De modo análogo a (i), obtemos:

\displaystyle \int |g| \cdot (|f + g|)^{p-1} \le^{D.H.} N_p(g) \cdot N_p(f + g)^{p/q}

Aplicando (i) e (ii) a inequação (*), obtemos:

\displaystyle \int |f + g|^{p} \le \left ( N_p(f) + N_p(g) \right ) \cdot N_p(f + g)^{p/q}

\displaystyle N_p(f + g)^{p} \le \left ( N_p(f) + N_p(g) \right ) \cdot N_p(f + g)^{p/q}

Se N_p(f + g)^{p/q}=0, então vale a desigualdade. Senão, dividindo toda a inequação por N_p(f + g)^{p/q} e aplicando novamente \alpha, concluímos que:

\displaystyle N_p(f+g) \le N_p(f) + N_p(g) .

\blacksquare

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