Desigualdade de Holder.

A desigualdade de Holder é muito utilizada para a demonstração de diversos teoremas  em espaços \mathcal{L}_p das funções integráveis. Apenas para introdução, os espaços das funções integráveis é o conjunto \mathcal{L}_p(\mu)= \{ f \in M(\Sigma) : \int |f|^p < \infty \}, onde M(\Sigma) é o espaço das funções mensuráveis. Geralmente é objeto de estudo na Análise Funcional e Teoria de Medida e Integração. Antes de enunciá-lo, daremos enunciado a uma simples proposição para que possamos demonstrá-lo efetivamente.

Proposição: Sejam a, b \in \mathbb{R}^+ e p, q > 1 também reais, tais que \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 . Então, vale a desigualdade:

{a^{1/p}} \cdot {b^{1/q}} \le \dfrac{1}{p} \cdot a + \dfrac{1}{q} \cdot b .

Demonstração: Bastante simples, temos que

a^{1/p} \cdot b^{1/q} = \exp \left( {\ln {a^{1/p}}} \right) \exp \left ( {\ln {b^{1/q}}} \right )

{a^{1/p}} \cdot {b^{1/q}} = \exp \left( {\ln {a^{1/p}} + \ln {b^{1/q}}} \right)

{a^{1/p}} \cdot {b^{1/q}} = \exp \left( {\dfrac{1}{p}\ln a + \dfrac{1}{q}\ln b} \right)

{a^{1/p}} \cdot {b^{1/q}} \le \dfrac{1}{p} \cdot a + \dfrac{1}{q} \cdot b

\blacksquare

De posse dessas informações podemos enunciar o teorema.

Teorema (Desigualdade de Holder): Sejam p, q \in \mathbb{R}, tal que - \infty < a < b < \infty\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 . Se f , g \in \mathcal{L}_p , então o produto f \cdot g \in \mathcal{L}_1 e vale a desigualdade N_p(f \cdot g) \le N_p(f) \cdot N_q(g) , tal que N_p é uma aplicação N_p: \mathcal{L}_p \rightarrow \mathbb{R}, definida por \displaystyle N_p(f)= \left ( \int |f|^p \right )^{1/p} .

Obs: N_p é uma semi-norma no espaço \displaystyle \mathcal{L}_p .

Demonstração: Se N_p(f)=N_q(g)=0, então f \cdot g=0 q.t.p. ( a menos de um conjunto de medida nula). Portanto, vale a desigualdade trivialmente. Suponhamos ambas as semi-normas não nulas. Tomemos a,b \in \mathbb{R}^+, definidos por: a= \left ( \dfrac{|f|}{N_p(f)} \right )^p e b= \left ( \dfrac{|g|}{N_q(g)} \right )^q . Pela proposição anterior, temos que:

{a^{1/p}} \cdot {b^{1/q}} \le \dfrac{1}{p} \cdot a + \dfrac{1}{q} \cdot b

\left ( \dfrac{|f|}{N_p(f)} \right ) \cdot \left ( \dfrac{|g|}{N_q(g)} \right ) \le \dfrac{1}{p} \cdot \left ( \dfrac{|f|}{N_p(f)} \right )^p + \dfrac{1}{q} \cdot \left ( \dfrac{|g|}{N_q(g)} \right )^q

\dfrac{|f \cdot g|}{N_p(f) \cdot N_q(g)} \le \dfrac{1}{p} \cdot \left ( \dfrac{|f|}{N_p(f)} \right )^p + \dfrac{1}{q} \cdot \left ( \dfrac{|g|}{N_q(g)} \right )^q       (*)

Passando a integral na desigualdade acima (*), iremos obter:

i)  \displaystyle \int \dfrac{|f \cdot g|}{N_p(f) \cdot N_q(g)} = \dfrac{1}{N_p(f) \cdot N_q(g)} \int |f \cdot g| ;

ii) \displaystyle \int |f \cdot g| = N_1(f \cdot g) ;

iii) \displaystyle \int \dfrac{1}{p} \cdot \left ( \dfrac{|f|}{N_p(f)} \right )^p = \dfrac{1}{p \cdot N_p(f)^p} \cdot \int |f|^p = \dfrac{1}{p \cdot N_p(f)^p} \cdot N_p(f)^{p} = \dfrac{1}{p} ;

iv) \displaystyle \int \dfrac{1}{q} \cdot \left ( \dfrac{|g|}{N_q(g)} \right )^q = \dfrac{1}{q \cdot N_q(g)^q} \cdot \int |g|^q = \dfrac{1}{q \cdot N_q(g)^q} \cdot N_q(g)^{q} = \dfrac{1}{q}  .

Portanto, a desigualdade (*) se resume a:

\dfrac{N_1(f \cdot g)}{N_p(f) \cdot N_q(g)} \le 1

O resultado segue, como queríamos demonstrar.

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