Dedução da Fórmula de Tartaglia-Ferro-Cardano.

Chamo de Fórmula de Tartaglia-Ferro-Cardano o método de resolução de equações do $3^0$ grau do tipo $x^3 + px + q = 0$ . Apesar de durante séculos ter sido conhecida como a Fórmula de Cardano, não foi este quem a demonstrou primeiramente. Antes, apropriando-se dos cálculos dos grandes matemáticos italianos da Idade Média, Tartaglia e Ferro, tornou pública tais soluções.

A solução algébrica por meio de radicais é um pouco sofisticada e envolve habilidade em resolução de equações.

Seja a equação do terceiro grau $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ , com $a \not= 0$ .

Cardano demonstrou que realizando a substituição $x = y - \dfrac{a}{3}$ elimina o termo $x^2$ da equação.

Mas nós desejamos ver isso na prática. Então, vamos realizar a substituição de variáveis considerando $y = x + m$ uma variável de $x$ . Temos portanto que $x = y - m$ .

Substituindo na equação do terceiro grau:

$a(y - m)^3 + b(y - m)^2 + c(y - m) + d = 0$

$ay^3 - 3ay^2m + 3aym^2 - am^3 + by^2 - 2bym + bm^2 + cy - cm + d = 0$

$ay^3 - 3ay^2m + by^2 + 3aym^2 - 2bym + cy - am^3 + bm^2 - cm + d = 0$

$ay^3 + (- 3am + b)y^2 + (3am^2 - 2bm + c)y - am^3 + bm^2 - cm + d = 0$

Desejamos que o termo $y^2$ seja nulo. Então, fazemos:

$- 3am + b = 0 \Rightarrow m = \dfrac{b}{3a}$

Substituindo $m$ :

$ay^3 + \left[3a \left(\dfrac{b}{3a}\right)^2 - 2b\left(\dfrac{b}{3a}\right) + c\right]y - a\left(\dfrac{b}{3a}\right)^3 + b\left(\dfrac{b}{a}\right)^2 - c\left(\dfrac{b}{3a}\right) + d = 0$

$ay^3 + \left(\dfrac{3ab^2}{9a^2} - \dfrac{2b^2}{3a} + c\right)y - \dfrac{ab^3}{27a^3} + \dfrac{b^3}{9a^2} - \dfrac{bc}{3a} + d = 0$

$ay^3 + \left(\dfrac{b^2}{3a} - \dfrac{2b^2}{3a} + c\right)y - \dfrac{b^3}{27a^2} + \dfrac{b^3}{9a^2} - \dfrac{bc}{3a} + d = 0$

$ay^3 + \left(-\dfrac{b^2}{3a} + c\right)y + \left(\dfrac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^2}\right) = 0$

Como $a \not= 0$ , podemos dividir toda a equação por $a$ .

$y^3 + \left(-\dfrac{b^2}{3a^2} + \dfrac{c}{a}\right)y + \left(\dfrac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3}\right) = 0$

Fazendo: $-\dfrac{b^2}{3a^2} + \dfrac{c}{a} = p$ e $\dfrac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3} = q$ , temos uma equação na incógnita $y$ simplificada do tipo:

$y^3 + py + q = 0$

Se $y = u + v$ , ou seja, estamos dizendo que $y$ pode ser expresso na forma de uma soma de dois números os quais são raízes da equação. Logo:

$(u + v)^3 + (u + v)p + q = 0$

$u^3 + 3uv^2 + 3u^2v + v^3 + pu + pv + q = 0$

$v^3 + u^3 + 3uv(u + v) + p(u + v) + q = 0$

$(v^3 + u^3) + (3uv + p)(u + v) + q = 0$

A equação é verdade para:

$v^3 + u^3 = -q$ e

$3uv + p = 0 \Rightarrow uv = -\dfrac{p}{3} \Rightarrow u^3v^3 = - \dfrac{p^3}{27}$

Observando o resultado anterior, vemos que $u^3$ e $v^3$ são raízes de uma equação do tipo $w^2 - Sw + P = 0$ , onde $S$ e $P$ são respectivamente a soma e o produto das raízes. Logo, podemos escrever tal equação como:

$w^2 + qw - \dfrac{p^3}{27} = 0$

Usando a Fórmula de Bhaskara $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ , chegamos à conclusão que:

$w = -\dfrac{q}{2} \pm \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}$

Como $u^3$ e $v^3$ são raízes dessa equação, então:

$u^3 = -\dfrac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}} \Rightarrow u = \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} + \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}}$

$v^3 = -\dfrac{q}{2} - \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}} \Rightarrow v = \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} - \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}}$

Para concluir. Dado que $y = u + v$ , então:

$y = \sqrt[3]{ - \dfrac{q}{2} + \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{ - \dfrac{q}{2} - \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}}$

Essa fórmula fornece as raízes da equação de $3^0$ grau do tipo $x^3 + p x + q = 0$ .

7 respostas para Dedução da Fórmula de Tartaglia-Ferro-Cardano.

Claudiane disse:

domingo, 23 março, 2014 às 12:11 am

Muito bom.

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Heliana Fernandes disse:

sábado, 25 outubro, 2014 às 7:07 pm

muito obrigada .

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Wendemberg disse:

quinta-feira, 3 setembro, 2015 às 4:59 pm

Muito bom, em fim um “post” que fala isso em detalhes. kkkk

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Lucas Guedes disse:

terça-feira, 19 abril, 2016 às 4:32 pm

Conseguimos determinar duas raizes: u e v. Mas, e a terceira raiz?

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- joao paulo disse:
  
  segunda-feira, 3 julho, 2017 às 1:05 am
  
  mas e os casos diferentes substitui x=y-b/3 na equaçao x³-6x²+11x-6 e obtive y³-y=0 como aplico a formula nesse caso sem o termo Q
  e outra equaçao x³-x-6 onde teria que dividir 1 por 27 daria um numero infinito de casas
  como chegaria no resultado 2 como raiz ? (eu sei q a raiz da equaçao e 2 pois 2³-2-6=0 mas quero encontrar esse resultado na formula)algem expert poderia explicar ?
  
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- joao paulo disse:
  
  segunda-feira, 3 julho, 2017 às 1:07 am
  
  acredito que a terceira raiz seria a soma das duas raizes encontradas na formula y=u+v
  
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Francisco Pinto Lima disse:

segunda-feira, 30 setembro, 2019 às 12:52 pm

A uma das raízes por Girad e as outras por Briot-Ruffini
Existe outra fórmula de Cardano-Tartaglia para equações completas de 3º grau

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