Dedução da Fórmula de Tartaglia-Ferro-Cardano.

Chamo de Fórmula de Tartaglia-Ferro-Cardano o método de resolução de equações do 3^0 grau do tipo x^3 + px + q = 0. Apesar de durante séculos ter sido conhecida como a Fórmula de Cardano, não foi este quem a demonstrou primeiramente. Antes, apropriando-se dos cálculos dos grandes matemáticos italianos da Idade Média, Tartaglia e Ferro, tornou pública tais soluções.

A solução algébrica por meio de radicais é um pouco sofisticada e envolve habilidade em resolução de equações.

Seja a equação do terceiro grau ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, com a \not= 0.

Cardano demonstrou que realizando a substituição x = y - \dfrac{a}{3} elimina o termo x^2 da equação.

Mas nós desejamos ver isso na prática. Então, vamos realizar a substituição de variáveis considerando y = x + m uma variável de x. Temos portanto que x = y - m.

Substituindo na equação do terceiro grau:

a(y - m)^3 + b(y - m)^2 + c(y - m) + d = 0

ay^3 - 3ay^2m + 3aym^2 - am^3 + by^2 - 2bym + bm^2 + cy - cm + d = 0

ay^3 - 3ay^2m + by^2 + 3aym^2 - 2bym + cy - am^3 + bm^2 - cm + d = 0

ay^3 + (- 3am + b)y^2 + (3am^2 - 2bm + c)y - am^3 + bm^2 - cm + d = 0

Desejamos que o termo y^2 seja nulo. Então, fazemos:

- 3am + b = 0 \Rightarrow m = \dfrac{b}{3a}

Substituindo m:

ay^3 + \left[3a \left(\dfrac{b}{3a}\right)^2 - 2b\left(\dfrac{b}{3a}\right) + c\right]y - a\left(\dfrac{b}{3a}\right)^3 + b\left(\dfrac{b}{a}\right)^2 - c\left(\dfrac{b}{3a}\right) + d = 0

ay^3 + \left(\dfrac{3ab^2}{9a^2} - \dfrac{2b^2}{3a} + c\right)y - \dfrac{ab^3}{27a^3} + \dfrac{b^3}{9a^2} - \dfrac{bc}{3a} + d = 0

ay^3 + \left(\dfrac{b^2}{3a} - \dfrac{2b^2}{3a} + c\right)y - \dfrac{b^3}{27a^2} + \dfrac{b^3}{9a^2} - \dfrac{bc}{3a} + d = 0

ay^3 + \left(-\dfrac{b^2}{3a} + c\right)y + \left(\dfrac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^2}\right) = 0

Como a \not= 0, podemos dividir toda a equação por a.

y^3 + \left(-\dfrac{b^2}{3a^2} + \dfrac{c}{a}\right)y + \left(\dfrac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3}\right) = 0

Fazendo: -\dfrac{b^2}{3a^2} + \dfrac{c}{a} = p e \dfrac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3} = q , temos uma equação na incógnita y simplificada do tipo:

y^3 + py + q = 0

Se y = u + v, ou seja, estamos dizendo que y pode ser expresso na forma de uma soma de dois números os quais são raízes da equação. Logo:

(u + v)^3 + (u + v)p + q = 0

u^3 + 3uv^2 + 3u^2v + v^3 + pu + pv + q = 0

v^3 + u^3 + 3uv(u + v) + p(u + v) + q = 0

(v^3 + u^3) + (3uv + p)(u + v) + q = 0

A equação é verdade para:

v^3 + u^3 = -q e

3uv + p = 0 \Rightarrow uv = -\dfrac{p}{3} \Rightarrow u^3v^3 = - \dfrac{p^3}{27}

Observando o resultado anterior, vemos que u^3 e v^3 são raízes de uma equação do tipo w^2 - Sw + P = 0, onde S e P são respectivamente a soma e o produto das raízes. Logo, podemos escrever tal equação como:

w^2 + qw - \dfrac{p^3}{27} = 0

Usando a Fórmula de Bhaskara x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, chegamos à conclusão que:

w = -\dfrac{q}{2} \pm \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}

Como u^3 e v^3  são raízes dessa equação, então:

u^3 = -\dfrac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}} \Rightarrow u = \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} + \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}}

v^3 = -\dfrac{q}{2} - \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}} \Rightarrow v = \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} - \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}}

Para concluir. Dado que y = u + v, então:

y = \sqrt[3]{ - \dfrac{q}{2} + \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{ - \dfrac{q}{2} - \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}}

Essa fórmula fornece as raízes da equação de 3^0 grau do tipo x^3 + p x + q = 0.

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4 respostas para Dedução da Fórmula de Tartaglia-Ferro-Cardano.

  1. Heliana Fernandes disse:

    muito obrigada .

  2. Wendemberg disse:

    Muito bom, em fim um “post” que fala isso em detalhes. kkkk

  3. Lucas Guedes disse:

    Conseguimos determinar duas raizes: u e v. Mas, e a terceira raiz?

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