Demonstração da Fórmula de Bhaskara.

Essa demonstração também pode ser conhecida como Método de Viète.

Seja a equação do segundo grau ax^2+bx+c=0 \Rightarrow a \not= 0.

Seja x = u + v as raízes dessa equação. Substituindo na equação, temos:

a(u + v)^2 + (u + v)b + c = 0

au^2 + 2auv + av^2 + bu + bv + c = 0

Vamos resolver a equação em v.

av^2 + (2au + b)v + au^2 + bu + c = 0

Vamos eliminar o coeficiente de v fazendo:

2au + b = 0 \Rightarrow u= \dfrac {-b} {2a}

Substituindo na equação:

av^2 + a \left(\dfrac{-b}{2 a}\right)^2 + b \left(\dfrac{-b}{2a}\right) + c = 0

av^2 + \dfrac{b^2}{4a} - \dfrac{b^2}{2a} + c = 0

Simplificando e tirando o mínimo de toda a equação:

4a^2v^2 + b^2 - 2b^2 + 4ac = 0

4a^2v^2 - b^2 + 4ac = 0

4a^2v^2 + b^2 - 4ac

v^2 = \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2} \Rightarrow v= \pm \dfrac{\sqrt{ b^2 - 4ac}}{2a}

Como afirmamos que:

x = u + v \Rightarrow x = -\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Então:

\quad x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Assim, está demonstrada a Fórmula de Bhaskara pelo Método de Viète.

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