(-1).(-1)=1 ?!

Por que ao multiplicamos menos um por menos um, o resultado é um, positivo? (-1).(-1)=1

Estamos tão habituados a decorar isso que não pensamos que essa operação só é possível se mantivermos as propriedades comutativas e associativas da adição e multiplicação e também a propriedade distributiva.

Pensemos: o que significa multiplicar (-1).(-1)?

O próprio grande matemático alemão Leonhard Euler disse: “Eu acho que é um“.

Por exemplo, seja n,a \in N, e a operação n.a \in N. Estamos dizendo que:

n.a = a + a + a + a + \dots + a n vezes.

Essa propriedade também vale em Z. Portanto, se a=-1, então:

n.(-1) = -1 + (-1) + (-1) + \dots + (-1) n vezes.

Agora, se n = 1 e a = -1, temos:

1.(-1) = (-1) (ou seja, o menos um (-1) uma vez).

Porém, se fizermos (-1).1=? temos um problema. O que seria o 1 (um) menos uma vez?

Só podemos assumir esse resultado pela propriedade comutativa da multiplicação.

Seja a,b \in Z \Rightarrow a.b = b.a é a propriedade comutativa da multiplicação.

Então, se 1.(-1) = -1 \Rightarrow 1.(-1) = (-1).1 = -1 segundo a propriedade comutativa da multiplicação.

Mas, o que seria, afinal, (-1).(-1)? O menos um menos uma vez?! Como assim?

Só é possível entender o que isso significa se mantivermos algumas propriedades importantes da soma e da multiplicação.

Seja a,b \in Z. Se a + (-b) = 0, então b é igual a a e -b=-a, o qual é simétrico de a. Ou seja:

b = a \Rightarrow a + (-a) = 0.

Seja a = 1. Então teremos a seguinte expressão:

a + (-a) = 1 + (-1) = 0 (I)

Seja válida a propriedade distributiva a,b,c \in Z \Rightarrow a.(b+c)=ab+ac

Em (I) podemos multiplicar toda a equação por (-1).

(-1).1 + (-1).(-1) = 0.(-1) (II)

Agora vejamos. Sabemos que 1.(-1)=-1. Se a.b=b.a, então 1.(-1)=(-1).1=-1 de acordo com a propriedade comutativa da multiplicação.

Da mesma forma, 1.0=0 e 1.0=0.1=0.

Operando (II) de acordo com as propriedades acima, temos:

-1 + (-1).(-1)=0

Como a propriedade distributiva é válida, vamos somar 1 a ambos os lados da equação:

1 + (-1) + (-1).(-1)=0 + 1

Sabemos que 0 + 1 = 1 + 0 = 1 e de (I) temos que:

(-1).(-1) = 1 c.q.d.

Assim, podemos generalizar para a,b \in Z \Rightarrow (-a).(-b)=ab, ou seja, sempre que multiplicarmos um número negativo por outro negativo, o resultado é um produto positivo.

Demonstração:

(-a).(-b) = (-1.).a.(-1).b = (-1).(-1).a.b = 1.a.b = a.b

Portanto, a,b \in Z \Rightarrow (-a).(-b)=a.b c.q.d.

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