Teorema de Jensen.

Objeto de estudo da Teoria de Medida e Integração, e outras diversas aplicações, o Teorema (ou desigualdade) de Jensen é muito importante para estudos de espaços de probabilidades e Estatística.

Teorema: Seja ( X, \Sigma, \mu) um espaço de medida com \mu (X)=1. Se a função g:(a,b) \rightarrow \mathbb{R}, com - \infty < a < b < \infty é convexa, e a função f:X \rightarrow \mathbb{R} é mensurável, com f(x) \in (a,b), para todo x \in X, então vale a desigualdade:

\displaystyle g \left ( \int fd \mu \right ) \le \int (gof) d \mu .

Demonstração:  Por hipótese, f é integrável e a < f < b. Aplicando integral nesta desigualdade (lembrando que a e b são constantes), obtemos o resultado \displaystyle a \cdot \mu (X) < \int fd \mu < b \cdot \mu (X). Seja \displaystyle t = \int f d \mu. Então, temos que a < t < b .

Consideremos o conjunto  \displaystyle \beta = sup \left \{ \frac{g(t) - g(x)}{t - x}: x \in (a,t) \right \}. Assim, tomemos um s \in (a,t). Temos que \displaystyle \beta \ge \frac{g(t) - g(s)}{t - s}, ou seja, \beta \cdot (t - s) \ge g(t) - g(s). Tomando um outro número qualquer neste intervalo, seja u \in (t,b), temos que \displaystyle \beta \le \frac{g(u) - g(t)}{u - t}. Logo, \beta \cdot (u - t) \le g(u) - g(t). Ou seja, para todo u \in (t,b) obtemos \beta \cdot (t - u) \ge g(t) - g(u).

Por meio dessas duas desigualdades, concluímos que para qualquer número real \alpha \in (a,b), obtemos a desigualdade \beta \cdot (t - \alpha) \ge g(t) - g(\alpha). Isto implica que:

g(\alpha) \ge g(t) + \beta \cdot (\alpha - t) .

Suponhamos que \displaystyle \alpha = f(x). Obtemos assim:

g(f(x)) \ge g(t) + \beta \cdot (f(x) - t)    (*)

Sendo f mensurável e g convexa (contínua), ou seja, Borel mensurável, temos que gof: X \rightarrow \mathbb{R} é mensurável e integrável. Aplicando integral na desigualdade (*), obtemos:

\displaystyle \int (gof) d \mu \ge \int g(t) d \mu + \int \beta \cdot (f(x) - t) d \mu

\displaystyle \int (gof) d \mu \ge g(t)

\displaystyle \int (gof) d \mu \ge g \left ( \int f d \mu \right )

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Desigualdade de Minkowski.

A desigualdade de Minkowski é um importante objeto matemático, o qual determina que os espaços de funções integráveis \mathcal{L}_p são espaços vetoriais normados e, além disso, que \displaystyle d(f,g)=N_p(f-g) é uma métrica sobre \mathcal{L}_p .

Teorema: Seja p \in [1,+ \infty) . Se f,g \in \mathcal{L}_p , então:

\displaystyle N_p(f+g) \le N_p(f) + N_p(g) .

Demonstração: Se p=1, então vale a desigualdade triangular |f + g| \le |f| + |g|. Suponhamos, p,q \in (1,+ \infty) tais que \displaystyle \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1. Então, podemos escrever p = q \cdot (p-1) e q = p \cdot (q-1)  (\alpha). Aplicando a desigualdade triangular, obtemos:

\displaystyle |f + g|^{p} = |f + g| \cdot |f + g|^{p-1} \le |f| \cdot |f + g|^{p-1} + |g| \cdot |f + g|^{p-1}        (*)

Temos que |f + g| \in \mathcal{L}_p. Então \displaystyle \int |f + g|^{p} < \infty. Isto implica que \displaystyle \int |f + g| \in \mathcal{L}_1. Além disso, |f + g|^{p-1} \in \mathcal{L}_q, onde q = 1, pois \displaystyle \int |f + g|^{p} = \int |f + g|^{q(p-1)} = \int (|f + g|^{p-1})^{q} \in \mathcal{L}_q.

Munidos dessas propriedades, aplicando integral na desigualdade (*) e através da desigualdade de Holder, obtemos:

i) \displaystyle \int |f| \cdot (|f + g|)^{p-1} \le^{D.H.} N_p(f) \cdot N_q((f + g)^{p-1})

\displaystyle \int |f| \cdot (|f + g|)^{p-1} \le^{D.H.} N_p(f) \cdot \left ( \int |f + g|^{q(p-1)} \right )^{1/q}

\displaystyle \int |f| \cdot (|f + g|)^{p-1} \le^{D.H.} N_p(f) \cdot \left ( \int |f + g|^{p} \right )^{1/q}    ( aplicando \alpha )

\displaystyle \int |f| \cdot (|f + g|)^{p-1} \le^{D.H.} N_p(f) \cdot \left \{ \left ( \int |f + g|^{p} \right )^{1/p} \right \}^{p/q}

\displaystyle \int |f| \cdot (|f + g|)^{p-1} \le^{D.H.} N_p(f) \cdot N_p(f + g)^{p/q}

 ii) De modo análogo a (i), obtemos:

\displaystyle \int |g| \cdot (|f + g|)^{p-1} \le^{D.H.} N_p(g) \cdot N_p(f + g)^{p/q}

Aplicando (i) e (ii) a inequação (*), obtemos:

\displaystyle \int |f + g|^{p} \le \left ( N_p(f) + N_p(g) \right ) \cdot N_p(f + g)^{p/q}

\displaystyle N_p(f + g)^{p} \le \left ( N_p(f) + N_p(g) \right ) \cdot N_p(f + g)^{p/q}

Se N_p(f + g)^{p/q}=0, então vale a desigualdade. Senão, dividindo toda a inequação por N_p(f + g)^{p/q} e aplicando novamente \alpha, concluímos que:

\displaystyle N_p(f+g) \le N_p(f) + N_p(g) .

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Desigualdade de Holder.

A desigualdade de Holder é muito utilizada para a demonstração de diversos teoremas  em espaços \mathcal{L}_p das funções integráveis. Apenas para introdução, os espaços das funções integráveis é o conjunto \mathcal{L}_p(\mu)= \{ f \in M(\Sigma) : \int |f|^p < \infty \}, onde M(\Sigma) é o espaço das funções mensuráveis. Geralmente é objeto de estudo na Análise Funcional e Teoria de Medida e Integração. Antes de enunciá-lo, daremos enunciado a uma simples proposição para que possamos demonstrá-lo efetivamente.

Proposição: Sejam a, b \in \mathbb{R}^+ e p, q > 1 também reais, tais que \dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 . Então, vale a desigualdade:

{a^{1/p}} \cdot {b^{1/q}} \le \dfrac{1}{p} \cdot a + \dfrac{1}{q} \cdot b .

Demonstração: Bastante simples, temos que

a^{1/p} \cdot b^{1/q} = \exp \left( {\ln {a^{1/p}}} \right) \exp \left ( {\ln {b^{1/q}}} \right )

{a^{1/p}} \cdot {b^{1/q}} = \exp \left( {\ln {a^{1/p}} + \ln {b^{1/q}}} \right)

{a^{1/p}} \cdot {b^{1/q}} = \exp \left( {\dfrac{1}{p}\ln a + \dfrac{1}{q}\ln b} \right)

{a^{1/p}} \cdot {b^{1/q}} \le \dfrac{1}{p} \cdot a + \dfrac{1}{q} \cdot b

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De posse dessas informações podemos enunciar o teorema.

Teorema (Desigualdade de Holder): Sejam p, q \in \mathbb{R}, tal que - \infty < a < b < \infty\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{q} = 1 . Se f , g \in \mathcal{L}_p , então o produto f \cdot g \in \mathcal{L}_1 e vale a desigualdade N_p(f \cdot g) \le N_p(f) \cdot N_q(g) , tal que N_p é uma aplicação N_p: \mathcal{L}_p \rightarrow \mathbb{R}, definida por \displaystyle N_p(f)= \left ( \int |f|^p \right )^{1/p} .

Obs: N_p é uma semi-norma no espaço \displaystyle \mathcal{L}_p .

Demonstração: Se N_p(f)=N_q(g)=0, então f \cdot g=0 q.t.p. ( a menos de um conjunto de medida nula). Portanto, vale a desigualdade trivialmente. Suponhamos ambas as semi-normas não nulas. Tomemos a,b \in \mathbb{R}^+, definidos por: a= \left ( \dfrac{|f|}{N_p(f)} \right )^p e b= \left ( \dfrac{|g|}{N_q(g)} \right )^q . Pela proposição anterior, temos que:

{a^{1/p}} \cdot {b^{1/q}} \le \dfrac{1}{p} \cdot a + \dfrac{1}{q} \cdot b

\left ( \dfrac{|f|}{N_p(f)} \right ) \cdot \left ( \dfrac{|g|}{N_q(g)} \right ) \le \dfrac{1}{p} \cdot \left ( \dfrac{|f|}{N_p(f)} \right )^p + \dfrac{1}{q} \cdot \left ( \dfrac{|g|}{N_q(g)} \right )^q

\dfrac{|f \cdot g|}{N_p(f) \cdot N_q(g)} \le \dfrac{1}{p} \cdot \left ( \dfrac{|f|}{N_p(f)} \right )^p + \dfrac{1}{q} \cdot \left ( \dfrac{|g|}{N_q(g)} \right )^q       (*)

Passando a integral na desigualdade acima (*), iremos obter:

i)  \displaystyle \int \dfrac{|f \cdot g|}{N_p(f) \cdot N_q(g)} = \dfrac{1}{N_p(f) \cdot N_q(g)} \int |f \cdot g| ;

ii) \displaystyle \int |f \cdot g| = N_1(f \cdot g) ;

iii) \displaystyle \int \dfrac{1}{p} \cdot \left ( \dfrac{|f|}{N_p(f)} \right )^p = \dfrac{1}{p \cdot N_p(f)^p} \cdot \int |f|^p = \dfrac{1}{p \cdot N_p(f)^p} \cdot N_p(f)^{p} = \dfrac{1}{p} ;

iv) \displaystyle \int \dfrac{1}{q} \cdot \left ( \dfrac{|g|}{N_q(g)} \right )^q = \dfrac{1}{q \cdot N_q(g)^q} \cdot \int |g|^q = \dfrac{1}{q \cdot N_q(g)^q} \cdot N_q(g)^{q} = \dfrac{1}{q}  .

Portanto, a desigualdade (*) se resume a:

\dfrac{N_1(f \cdot g)}{N_p(f) \cdot N_q(g)} \le 1

O resultado segue, como queríamos demonstrar.

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Demonstração da Irracionalidade do Número de Euler.

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Demonstração Algébrica das Fórmulas de Soma e Subtração de Arcos Trigonométricos.

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Resolução do Problema Proposto por Bento de Jesus Caraça.

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Dedução da Fórmula de Tartaglia-Ferro-Cardano.

Chamo de Fórmula de Tartaglia-Ferro-Cardano o método de resolução de equações do 3^0 grau do tipo x^3 + px + q = 0. Apesar de durante séculos ter sido conhecida como a Fórmula de Cardano, não foi este quem a demonstrou primeiramente. Antes, apropriando-se dos cálculos dos grandes matemáticos italianos da Idade Média, Tartaglia e Ferro, tornou pública tais soluções.

A solução algébrica por meio de radicais é um pouco sofisticada e envolve habilidade em resolução de equações.

Seja a equação do terceiro grau ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, com a \not= 0.

Cardano demonstrou que realizando a substituição x = y - \dfrac{a}{3} elimina o termo x^2 da equação.

Mas nós desejamos ver isso na prática. Então, vamos realizar a substituição de variáveis considerando y = x + m uma variável de x. Temos portanto que x = y - m.

Substituindo na equação do terceiro grau:

a(y - m)^3 + b(y - m)^2 + c(y - m) + d = 0

ay^3 - 3ay^2m + 3aym^2 - am^3 + by^2 - 2bym + bm^2 + cy - cm + d = 0

ay^3 - 3ay^2m + by^2 + 3aym^2 - 2bym + cy - am^3 + bm^2 - cm + d = 0

ay^3 + (- 3am + b)y^2 + (3am^2 - 2bm + c)y - am^3 + bm^2 - cm + d = 0

Desejamos que o termo y^2 seja nulo. Então, fazemos:

- 3am + b = 0 \Rightarrow m = \dfrac{b}{3a}

Substituindo m:

ay^3 + \left[3a \left(\dfrac{b}{3a}\right)^2 - 2b\left(\dfrac{b}{3a}\right) + c\right]y - a\left(\dfrac{b}{3a}\right)^3 + b\left(\dfrac{b}{a}\right)^2 - c\left(\dfrac{b}{3a}\right) + d = 0

ay^3 + \left(\dfrac{3ab^2}{9a^2} - \dfrac{2b^2}{3a} + c\right)y - \dfrac{ab^3}{27a^3} + \dfrac{b^3}{9a^2} - \dfrac{bc}{3a} + d = 0

ay^3 + \left(\dfrac{b^2}{3a} - \dfrac{2b^2}{3a} + c\right)y - \dfrac{b^3}{27a^2} + \dfrac{b^3}{9a^2} - \dfrac{bc}{3a} + d = 0

ay^3 + \left(-\dfrac{b^2}{3a} + c\right)y + \left(\dfrac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^2}\right) = 0

Como a \not= 0, podemos dividir toda a equação por a.

y^3 + \left(-\dfrac{b^2}{3a^2} + \dfrac{c}{a}\right)y + \left(\dfrac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3}\right) = 0

Fazendo: -\dfrac{b^2}{3a^2} + \dfrac{c}{a} = p e \dfrac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3} = q , temos uma equação na incógnita y simplificada do tipo:

y^3 + py + q = 0

Se y = u + v, ou seja, estamos dizendo que y pode ser expresso na forma de uma soma de dois números os quais são raízes da equação. Logo:

(u + v)^3 + (u + v)p + q = 0

u^3 + 3uv^2 + 3u^2v + v^3 + pu + pv + q = 0

v^3 + u^3 + 3uv(u + v) + p(u + v) + q = 0

(v^3 + u^3) + (3uv + p)(u + v) + q = 0

A equação é verdade para:

v^3 + u^3 = -q e

3uv + p = 0 \Rightarrow uv = -\dfrac{p}{3} \Rightarrow u^3v^3 = - \dfrac{p^3}{27}

Observando o resultado anterior, vemos que u^3 e v^3 são raízes de uma equação do tipo w^2 - Sw + P = 0, onde S e P são respectivamente a soma e o produto das raízes. Logo, podemos escrever tal equação como:

w^2 + qw - \dfrac{p^3}{27} = 0

Usando a Fórmula de Bhaskara x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, chegamos à conclusão que:

w = -\dfrac{q}{2} \pm \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}

Como u^3 e v^3  são raízes dessa equação, então:

u^3 = -\dfrac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}} \Rightarrow u = \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} + \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}}

v^3 = -\dfrac{q}{2} - \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}} \Rightarrow v = \sqrt[3]{-\dfrac{q}{2} - \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}}

Para concluir. Dado que y = u + v, então:

y = \sqrt[3]{ - \dfrac{q}{2} + \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{ - \dfrac{q}{2} - \sqrt{\dfrac{q^2}{4} + \dfrac{p^3}{27}}}

Essa fórmula fornece as raízes da equação de 3^0 grau do tipo x^3 + p x + q = 0.

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Demonstração da Fórmula de Bhaskara.

Essa demonstração também pode ser conhecida como Método de Viète.

Seja a equação do segundo grau ax^2+bx+c=0 \Rightarrow a \not= 0.

Seja x = u + v as raízes dessa equação. Substituindo na equação, temos:

a(u + v)^2 + (u + v)b + c = 0

au^2 + 2auv + av^2 + bu + bv + c = 0

Vamos resolver a equação em v.

av^2 + (2au + b)v + au^2 + bu + c = 0

Vamos eliminar o coeficiente de v fazendo:

2au + b = 0 \Rightarrow u= \dfrac {-b} {2a}

Substituindo na equação:

av^2 + a \left(\dfrac{-b}{2 a}\right)^2 + b \left(\dfrac{-b}{2a}\right) + c = 0

av^2 + \dfrac{b^2}{4a} - \dfrac{b^2}{2a} + c = 0

Simplificando e tirando o mínimo de toda a equação:

4a^2v^2 + b^2 - 2b^2 + 4ac = 0

4a^2v^2 - b^2 + 4ac = 0

4a^2v^2 + b^2 - 4ac

v^2 = \dfrac{b^2 - 4ac}{4a^2} \Rightarrow v= \pm \dfrac{\sqrt{ b^2 - 4ac}}{2a}

Como afirmamos que:

x = u + v \Rightarrow x = -\dfrac{b}{2a} \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Então:

\quad x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Assim, está demonstrada a Fórmula de Bhaskara pelo Método de Viète.

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(-1).(-1)=1 ?!

Por que ao multiplicamos menos um por menos um, o resultado é um, positivo? (-1).(-1)=1

Estamos tão habituados a decorar isso que não pensamos que essa operação só é possível se mantivermos as propriedades comutativas e associativas da adição e multiplicação e também a propriedade distributiva.

Pensemos: o que significa multiplicar (-1).(-1)?

O próprio grande matemático alemão Leonhard Euler disse: “Eu acho que é um“.

Por exemplo, seja n,a \in N, e a operação n.a \in N. Estamos dizendo que:

n.a = a + a + a + a + \dots + a n vezes.

Essa propriedade também vale em Z. Portanto, se a=-1, então:

n.(-1) = -1 + (-1) + (-1) + \dots + (-1) n vezes.

Agora, se n = 1 e a = -1, temos:

1.(-1) = (-1) (ou seja, o menos um (-1) uma vez).

Porém, se fizermos (-1).1=? temos um problema. O que seria o 1 (um) menos uma vez?

Só podemos assumir esse resultado pela propriedade comutativa da multiplicação.

Seja a,b \in Z \Rightarrow a.b = b.a é a propriedade comutativa da multiplicação.

Então, se 1.(-1) = -1 \Rightarrow 1.(-1) = (-1).1 = -1 segundo a propriedade comutativa da multiplicação.

Mas, o que seria, afinal, (-1).(-1)? O menos um menos uma vez?! Como assim?

Só é possível entender o que isso significa se mantivermos algumas propriedades importantes da soma e da multiplicação.

Seja a,b \in Z. Se a + (-b) = 0, então b é igual a a e -b=-a, o qual é simétrico de a. Ou seja:

b = a \Rightarrow a + (-a) = 0.

Seja a = 1. Então teremos a seguinte expressão:

a + (-a) = 1 + (-1) = 0 (I)

Seja válida a propriedade distributiva a,b,c \in Z \Rightarrow a.(b+c)=ab+ac

Em (I) podemos multiplicar toda a equação por (-1).

(-1).1 + (-1).(-1) = 0.(-1) (II)

Agora vejamos. Sabemos que 1.(-1)=-1. Se a.b=b.a, então 1.(-1)=(-1).1=-1 de acordo com a propriedade comutativa da multiplicação.

Da mesma forma, 1.0=0 e 1.0=0.1=0.

Operando (II) de acordo com as propriedades acima, temos:

-1 + (-1).(-1)=0

Como a propriedade distributiva é válida, vamos somar 1 a ambos os lados da equação:

1 + (-1) + (-1).(-1)=0 + 1

Sabemos que 0 + 1 = 1 + 0 = 1 e de (I) temos que:

(-1).(-1) = 1 c.q.d.

Assim, podemos generalizar para a,b \in Z \Rightarrow (-a).(-b)=ab, ou seja, sempre que multiplicarmos um número negativo por outro negativo, o resultado é um produto positivo.

Demonstração:

(-a).(-b) = (-1.).a.(-1).b = (-1).(-1).a.b = 1.a.b = a.b

Portanto, a,b \in Z \Rightarrow (-a).(-b)=a.b c.q.d.

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