..:: Função Zeta de Euler.

.::. Motivado pelos artigos de meu amigo Américo Tavares, resolvi escrever um artigo sobre a função zeta de Euler, definida por:

que é absolutamente convergente se, e somente se, . 
.::. Em especial, para este artigo, desejo provar a belíssima relação desta função com os números primos, demonstrada pelo próprio Euler:

ou seja,

.::. Demonstração.
.::. Sabemos que:
(1)
.::. Seja
[...]

..:: Novamente, uma dedução para a fórmula de Bhaskara.

.::. Dedução da Fórmula de Bhaskara.
.::. Dada a grande procura por este artigo, resolvi reescrevê-lo, agora em linguagem . 
.::. Deduzir a fórmula de Bhaskara é encontrar a fórmula que nos permite calcular as possíveis raízes da equação:
 
.::. Sendo assim temos:

.::. Multipliquemos agora ambos os lados da equação por  :

.::. Somando-se a ambos os lados da equação acima, [...]

..:: Fórmula de Tartaglia, e não de Cardano! (Parte 2)

.::. Demonstração da Fórmula de Tartaglia.
.::. Seja a equação,

.::. Vamos dividir todos os termos da equação por , para obtermos,

.::. onde, . 
.::. Seja , onde é um número qualquer, diferente de zero, que sempre existe em . 
.::. Logo, vamos obter:

.::. Seja .
.::. Substituindo na equação acima, vamos obter:

.::. Sejam .
.::. Assim, obtemos uma equação muito [...]

..:: Demonstração das fórmulas para integração de potências de seno e cosseno.

.::. Primeiramente, desejamos obter uma fórmula geral para:

.::. Seja
.::. Da conhecida  integração por partes , temos:

.::. Logo,

.::. Sabemos que . Substituindo essa relação na integral acima, obtemos:

.::. Finalmente,

.::. Para . 
.::. Esta é a fórmula geral desejada.
.::. Agora, desejamos obter uma fórmula geral para:

.::. Seja
.::. Da conhecida  integração por partes , temos:

.::. Logo,

.::. Sabemos [...]

..:: Dedução das fórmulas para soma e diferença de arcos trigonométricos (Parte 4).

.::. Agora que já demonstramos as fórmulas para o cosseno da soma, cosseno da diferença, para o seno da soma e o seno da diferença, vamos demonstrar as fórmulas para a tangente da soma e para a tangente da diferença.
.::. Desejamos, primeiramente, obter uma fórmula para .
.::. Sabemos que:
1)
2) – deduzida aqui.
3) – deduzida [...]

..:: Dedução das fórmulas para soma e diferença de arcos trigonométricos (Parte 3).

.::. Parte 3) O seno da soma e da diferença.
.::. Desejamos, primeiramente, obter uma fórmula para .
.::. Podemos dizer que:
, dado que
, pois são arcos complementares.
.::. Então,

.::. Sabemos que:
  – leia o primeiro artigo.
.::. Logo,

.::. Temos que:
, pois são arcos complementares. Assim como:
.
.::. Então,
.:.:.
.::. Como queríamos demonstrar.
.::. Agora, desejamos obter uma fórmula para .
.::. Podemos [...]

..:: Dedução das fórmulas para soma e diferença de arcos trigonométricos (Parte 2).

.::. Parte 2) O cosseno da soma.
.::. Desejamos encontrar uma fórmula para . 
.::. Podemos fazer:

.::. Sabemos que:
  – leia o artigo anterior.
.::. Logo,

.::. Sabemos também, por meio da redução ao primeiro quadrante, que:

.::. Substituindo, vem: 

.::. Como queríamos demonstrar.

..:: Uma fórmula para a integral de sec^m(x).

.::. Provar que, para , temos

.::. Podemos fazer:

.::. Utilizando integração por partes, vamos resolver
.::. Seja
.::. Seja
.::. De  
.::.
.::. Sabemos que
.::. Substituindo essa relação na integral acima, obtemos:

.::. Como queríamos demonstrar.