..:: Um novo tipo de função.

Publicado em Sexta-Feira, 21 Dezembro, 2007 por physike

.::. Um novo tipo de função, ou uma nova maneira de enxergar funções. A Matemática é realmente maravilhosa. É possível modelar diferentes métodos de interpretação, sem que estes estejam equivocados.

.::. Bom estive imaginando uma nova maneira de enxergar uma função. Nada que seja rigoroso, nem mesmo necessita ser didático, ou “matematicamente correto”.

.::. Estamos habituados a trabalhar com funções cujos gráficos são determinados a partir de pontos obtidos pela interseção de retas perpendiculares entre si. Veja a figura abaixo:

.::. Mas, na realidade, podemos “construir” uma função da maneira que desejarmos. Por exemplo, seja uma função \phi ou f(\lambda) formada pela interseção de circunferências de centros:

\displaystyle\ C_{\lambda}=(\lambda\ ,0)\\ C_{\phi}=(0,\phi)\Longrightarrow\lambda ,\phi\in\mathbb{R}

.::. Cujos raios são, respectivamente, \displaystyle\ |\lambda |\ e\ |\phi |.

.::.   Nesta função, a variável independente é \lambda, e a variável dependente \phi. Quando se diz, por exemplo, que \lambda assume um valor qualquer, devemos traçar uma circunferência de centro em (\lambda ,0) de raio  \ |\lambda | e, para o valor obtido para \phi, uma circunferência de centro (0,\phi ) de raio \ |\phi |.

.::. Exemplo:

.::. Observemos que as circunferências se encontram nos pontos P(x,y) e na origem do plano (0,0).

.::. Se \phi é uma função polinomial, podemos ter:

 \phi =f(\lambda )=a_0+a_1\lambda +a_2\lambda ^{2}+\cdots\ a_n\lambda ^{n}, por exemplo.

.::. Mas, para termos uma noção analítica do que ocorre com tal função dispondo das notações que estamos habituados, podemos interpretá-la da seguinte forma:

.::. Sabemos que a equação reduzida de uma circunferência de centro C(a,b) é dada por:

\displaystyle\ (x-a)^{2} + (y-b)^{2}=r^{2}

.::. Portanto, podemos fazer:

1) Para \displaystyle\ C_{\lambda}=(\lambda\ ,0):

\displaystyle\ (x-\lambda )^{2} + (y)^{2}=\lambda ^{2}

\displaystyle\ x^2\ +y^2\ -2.x.\lambda\ =0

\displaystyle\lambda =\frac{x^2+y^2}{2x}      (1)

1) Para \displaystyle\ C_{\phi}=(0,\lambda ):

\displaystyle\ (x )^{2} + (y-\phi)^{2}=\phi ^{2}

\displaystyle\ x^2\ +y^2\ -2.y.\phi\ =0

\displaystyle\phi =\frac{x^2+y^2}{2y}      (2)

.::. Assim, podemos ver que tanto \phi como \lambda são funções do tipo f(x,y).

.::. Seja a função \phi =a\lambda +b uma função do primeiro grau, tal que a,b\in\mathbb{R}\Rightarrow\ a\neq 0.

.::. Substituindo as relações (1) e (2) na função acima, obtemos:

\displaystyle\phi =a\lambda +b\Longrightarrow\frac{x^2+y^2}{2y}=a\left(\frac{x^2+y^2}{2x}\right)\ +b

.::. Resolvendo a igualdade acima, obtemos: 

\displaystyle\ x^3-ay^3+xy^2-ax^2y-2bxy=0

.::. Uma função analítica implícita, que depende unicamente dos coeficientes a e b de \phi.

.::. O resultado mais belo obtido por essa função é seu gráfico. Observe alguns exemplos:

a) \phi =\lambda +2

 

b) \phi =\lambda

 

c) \phi =-\lambda -1

 

d) \phi =-3\lambda +8

e) \phi =-3\lambda -3

 

.::. Seja agora \displaystyle\phi =\frac{a\lambda +b}{c\lambda +d} uma função composta, tal que \displaystyle\ a,b,c,d\in\mathbb{R}\Longrightarrow\ a,c\neq 0\ e\ \lambda\neq\frac{-d}{c}.

.::. Substituindo as relações \displaystyle\phi =\frac{x^2+y^2}{2y} e \displaystyle\lambda =\frac{x^2+y^2}{2x} na função acima, obtemos:

\displaystyle\ c(x^2+y^2)^2+2(x^2+y^2)(dx-ay)-4bxy=0

.::. Exemplos:

a) \displaystyle\phi =\frac{\lambda +1}{\lambda}

 

b) \displaystyle\phi =\frac{\lambda +10}{2\lambda +1}

 

 .::. Observação: curva muito semelhante à lemniscata de Bernoulli.

c) \displaystyle\phi =\frac{\lambda +10}{10\lambda +1}

.::. A lemniscata de Bernoulli é uma curva da forma \displaystyle\ (x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2).

.::. É um tipo de oval de Cassini, que é definida como o lugar dos pontos do plano, cujo produto das distâncias a dois pontos fixos do plano é constante. Sendo os pontos (a,0) e (-a,0) e a constante for k, a equação da oval será:

\displaystyle\ [(x-a)^2+y^2].[(x+a)^2+y^2]=k^2

.::. Para k=a^2, a lemniscata é uma oval cuja equação está representada acima.

 

Arquivado em: Matemática | Etiquetado: , , ,

« »

Deixe uma resposta