..:: Uma questão da UFJF – 2007.

Publicado em Segunda-feira, 17 Dezembro, 2007 por physike

.::. Estava observando a prova do vestibular da Universidade Federal de Juiz de Fora / MG (UFJF) deste ano, e deparei-me com uma questão muito interessante, que dizia:

Questão 3. A área do hexágono regular ABCDEF é 180\ cm^{2}.

Qual a área do triângulo sombreado, em centímetros quadrados?

a) 10

b) 15

c) 20

d) 25

e) 30

Solução:

.::. Vamos chamar o lado do hexágono regular ABCDEF de L. A área do hexágono regular é dada pela fórmula:

\displaystyle\ A_{6}=3L^{2}\frac{\sqrt{3}}{2}

.::. Logo, podemos fazer:

\displaystyle\ 180=3L^{2}\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\ L^{2}=40\sqrt{3}

.::.  Observemos agora que, no interior do hexágono maior, há um hexágono HIJLMN, igualmente regular, menor. Chamemos a medida de seus lados de l.

.::. Queremos provar que o lado AH é côngruo ao lado FH. Isso é simples. A medida do ângulo interno de um hexágono regular é dada por:

 \displaystyle\ a_i=\frac{(n-2)180^{o}}{n}\Rightarrow\ a_6=120^{o}

.::. Portanto, observe a figura abaixo:

.::. Os triângulos AHI, FHN, ENM, DML, CLJ, BJI são todos equiláteros, e as medidas de seus lados são l. Utilizando a lei dos co-senos \displaystyle\ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc.cos\widehat{A}, temos:

\displaystyle\ L^{2}=l^{2}+l^{2}-2l^{2}.cos\ 120^{o}

\displaystyle\ 40\sqrt{3}=2.l^{2}-2l^{2}.(-cos\ 60^{o})

\displaystyle\ 40\sqrt{3}=2.l^{2}\left( 1+\frac{1}{2}\right)

\displaystyle\ 40\sqrt{3}=2.l^{2}\frac{3}{2}

\displaystyle\ l^{2}=40\frac{\sqrt{3}}{3}

.::. A área do triângulo AFH pode ser dada pela lei dos senos para o cálculo de áreas para triângulos:

\displaystyle\ A_3=\frac{1}{2}bc.sen\widehat{A}

\displaystyle\ A_3=\frac{1}{2}l^{2}.sen\ 120^{o}

\displaystyle\ A_3=\frac{1}{2}.40\frac{\sqrt{3}}{3}.sen\ 60^{o}

\displaystyle\ A_3=20.\frac{\sqrt{3}}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}

\displaystyle\ A_3=10\ cm^{2}

.::. Se, porventura, o aluno veio a se esquecer da fórmula acima, pode-se calcular a mesma área por:

\displaystyle\ A_3=\frac{b.h}{2}\Rightarrow\ A_3=\frac{L.h}{2}   (1)

.::. Ainda não temos h, que pode ser calculada por:

\displaystyle\ l^{2}=\frac{L^{2}}{4}+h^{2}

\displaystyle\ 40\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{40\sqrt{3}}{4}+h^{2}

\displaystyle\ h^{2}=\frac{10\sqrt{3}}{3}

 

.::. Voltando em (1), temos que:

\displaystyle\ A^{2}_3=\frac{L^{2}.h^{2}}{4} 

\displaystyle\ A^{2}_3=\frac{40\sqrt{3}.10\sqrt{3}}{12} 

\displaystyle\ A^{2}_3=100 

\displaystyle\ A_3=10\ cm^{2}

.::. Conclusão: Excelente questão!

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