..:: Função Zeta de Euler.

Publicado por Segunda-feira, 17 Dezembro, 2007 por physike

.::. Motivado pelos artigos de meu amigo Américo Tavares, resolvi escrever um artigo sobre a função zeta de Euler, definida por:

\displaystyle\zeta (s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+...+\frac{1}{n^{s}}+...

que é absolutamente convergente se, e somente se, s>1. 

.::. Em especial, para este artigo, desejo provar a belíssima relação desta função com os números primos, demonstrada pelo próprio Euler:

\displaystyle\zeta (s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}=\displaystyle\Pi_{p\ primo}\left( 1-\frac{1}{p^{s}}\right) ^{-1}

ou seja,

\displaystyle\zeta (s)=\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right) ^{-1}.\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right) ^{-1}.\left( 1-\frac{1}{5^{s}}\right) ^{-1}.\left( 1-\frac{1}{7^{s}}\right) ^{-1}.\cdots

.::. Demonstração.

.::. Sabemos que:

\displaystyle\zeta (s)=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+...+\frac{1}{n^{s}}+... (1)

.::. Seja

\displaystyle\frac{1}{2^{s}}\zeta (s)=\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{6^{s}}+\frac{1}{8^{s}}+... (2)

.::. Façamos agora (1) – (2):

\displaystyle\zeta (s)-\frac{1}{2^{s}}\zeta (s)=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+...-\frac{1}{2^{s}}-\frac{1}{4^{s}}-\frac{1}{6^{s}}-\frac{1}{8^{s}}-\cdots

.::. Isto implica que:

\displaystyle\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=1+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\cdots

 .::. Seja, agora,

\displaystyle\frac{1}{3^{s}}\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\frac{1}{15^{s}}+\frac{1}{21^{s}}+\cdots

.::. Façamos \displaystyle\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)-\frac{1}{3^{s}}\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s), afim de obtermos:

\displaystyle\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=1+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+...-\frac{1}{3^{s}}-\frac{1}{9^{s}}-\\-\frac{1}{15^{s}}-\frac{1}{21^{s}}-\cdots

.::. Logo, temos que:

\displaystyle\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=1+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{17^{s}}+...

.::. De acordo com a relação acima, vamos fazer:

\displaystyle\frac{1}{5^{s}}\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{25^{s}}+\frac{1}{35^{s}}+...

.::. Podemos, assim, operar:

\displaystyle\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)-\frac{1}{5^{s}}\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)

.::. Observe o resultado:

\displaystyle\left( 1-\frac{1}{5^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=1+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+...-\frac{1}{5^{s}}-\\ -\frac{1}{25^{s}}-\frac{1}{35^{s}}-...

.::. Isto implica que:

\displaystyle\left( 1-\frac{1}{5^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=1+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+...

.::. Observe que, aos poucos, estamos eliminando todos os múltiplos de \displaystyle\frac{1}{2^{s}}, \displaystyle\frac{1}{3^{s}}, \displaystyle\frac{1}{5^{s}}, e assim sucessivamente, inclusive eles próprios. Logo, se prosseguirmos desta forma com todos os primos, haverá de restar apenas o 1, por indução. Assim:

\displaystyle\Pi_{p\ primo}\left(1-\frac{1}{p^{s}}\right)\zeta (s)=1

onde \Pi denota produtório. 

\displaystyle\Pi_{p\ primo}\left(1-\frac{1}{p^{s}}\right)\zeta (s)=1\Longrightarrow\zeta (s)=\Pi_{p\ primo}\left( 1-\frac{1}{p^{s}}\right) ^{-1}

.::. Como queríamos demonstrar.

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5 Respostas

  1. problemasteoremas, em Dezembro 19th, 2007 às 6:59 am Diz:

    Realmente também tinha o intenção de apresentar o produto de Euler (ou euleriano) no meu blogue.
    Este post é simples mas com qualidade, o que é uma grande virtude.
    Tenho feito algumas incursões por outros servidores (portugueses, no caso) para ver se poderia manter lá um blogue semelhante ao problemasteoremas no wordpress. A conclusão provisória que tirei é que a facilidade de edição/apresentação de textos matemáticos é muito boa no wordpress (de longe superior ao que estou a obter nos portugueses; são bons, mas não para MUITAS fórmulas)

    Um abraço amigo do
    Américo

  2. physike, em Dezembro 19th, 2007 às 10:40 am Diz:

    .::. Realmente Américo, o WordPress é uma excelente ferramenta para publicarmos artigos matemáticos. O objetivo deste artigo realmente foi desenvolvê-lo de uma forma simples, mas muito prática. Espero que tenha agradado! Um grande abraço!

  3. gleici cristina walker, em Fevereiro 16th, 2008 às 5:23 pm Diz:

    oi……………….. eu a gleici e estou fazendo um trabalho sobre a função zta de reimann e, estudando sua teoria percebi que falava sobre Euler.Eu gostaria de saber se vc pode me ajudar.

  4. José de Arimatéa, em Junho 29th, 2009 às 9:54 pm Diz:

    Gostei da prova , Professor Rodrigo.Gostariaque, se possível voce fizesse a relação com a função zeta de Riemann.Afinal, que ele estava pensando quando colocou s como sendo um complexo?

  5. Américo Tavares, em Junho 30th, 2009 às 9:55 pm Diz:

    Penso que pode ajudar ver o pdf

    How Euler discovered the zeta function, de
    Keith Devlin

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