..:: Demonstração das fórmulas para integração de potências de seno e cosseno.

Publicado por Segunda-feira, 10 Dezembro, 2007 por physike

.::. Primeiramente, desejamos obter uma fórmula geral para:

\displaystyle\int\ sen^{n}u\ du

.::. Seja \displaystyle\int\ sen^{n}u\ du=\int sen^{n-1}u\ senu\ du

.::. Da conhecida  integração por partes \displaystyle\int\ tdv= t.v-\int\ vdt, temos:

\displaystyle\ t=sen^{n-1}u\Longrightarrow\ dt=(n-1)sen^{n-2}u\ cosu\ du

\displaystyle\ dv=senu\ du\Longrightarrow\ v=-cosu

.::. Logo,

\displaystyle\int\ sen^{n}u\ du=-cosu.sen^{n-1}u+(n-1)\int sen^{n-2}u.cos^{2}udu

.::. Sabemos que \displaystyle\ cos^{2}u=1-sen^{2}u. Substituindo essa relação na integral acima, obtemos:

\displaystyle\int sen^{n}u\ du=-cosu.sen^{n-1}u+(n-1)\int\ sen^{n-2}u.(1-sen^{2}u)\ du

\displaystyle\int\ sen^{n}u\ du+(n-1)\int\ sen^{n}u\ du=-cosu.sen^{n-1}u+\\ +(n-1)\int\ sen^{n-2}u\ du

.::. Finalmente,

\displaystyle\int\ sen^{n}u\ du=-\frac{1}{n}cosu.sen^{n-1}u+\frac{n-1}{n}\int\ sen^{n-2}u\ du

.::. Para \displaystyle\ n>1\in\mathbb{Z}. 

.::. Esta é a fórmula geral desejada.

.::. Agora, desejamos obter uma fórmula geral para:

\displaystyle\int\ cos^{n}u\ du

.::. Seja \displaystyle\int\ cos^{n}u\ du=\int cos^{n-1}u\ cosu\ du

.::. Da conhecida  integração por partes \displaystyle\int\ tdv= t.v-\int\ vdt, temos:

\displaystyle\ t=cos^{n-1}u\Longrightarrow\ dt=(n-1)cos^{n-2}u\ (-senu)\ du

\displaystyle\ dv=cosu\ du\Longrightarrow\ v=senu

.::. Logo,

\displaystyle\int\ cos^{n}u\ du=senu.cos^{n-1}u+(n-1)\int cos^{n-2}u.sen^{2}udu

.::. Sabemos que \displaystyle\ sen^{2}u=1-cos^{2}u. Substituindo essa relação na integral acima, obtemos:

\displaystyle\int cos^{n}u\ du=senu.cos^{n-1}u+(n-1)\int\ cos^{n-2}u.(1-cos^{2}u)\ du

\displaystyle\int\ cos^{n}u\ du+(n-1)\int\ cos^{n}u\ du=senu.cos^{n-1}u+\\ +(n-1)\int\ cos^{n-2}u\ du

.::. Assim, podemos concluir que:

\displaystyle\int\ cos^{n}u\ du=\frac{1}{n}senu.cos^{n-1}u+\frac{n-1}{n}\int\ cos^{n-2}u\ du

.::. Para \displaystyle\ n>1\in\mathbb{Z}. 

 .::. Esta é a outra fórmula geral igualmente desejada.

.::. Como queríamos demonstrar.

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3 Respostas

  1. elton, em Maio 15th, 2008 às 11:41 pm Diz:

    gostaria de ter demonstracoes detalhadas de teoremas de cauculo 1. obrigado

  2. DIRLEI, em Junho 7th, 2008 às 10:20 pm Diz:

    gostaria de adquirir livros de matemáticas com resoluções resolvídas

  3. WTF?, em Junho 25th, 2008 às 6:38 pm Diz:

    Seno e consseno parece ser simples mas demorei bastante tempo pra enteder……….

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