..:: Um pouco sobre os números primos.

Publicado por Quinta-feira, 6 Dezembro, 2007 por physike

.::. Escrevendo o artigo anterior sobre o princípio da indução finita, deparei-me com os primos de Fermat. Este assunto despertou-me a escrever um artigo somente sobre os números primos, que vêm intrigando as mentes matemáticas mais brilhantes durante séculos. Não há um só matemático apaixonado pela Teoria dos Números que não tenha seu interesse despertado pelos números primos. Há um grande mistério em torno desses números, como por exemplo, sobre como estão distribuídos no conjunto dos números naturais. Não há uma ordem. Não há um por quê! Estes também estão inseridos na Hipótese de Riemann (1826 – 1866), um dos problemas matemáticos mais difíceis de todos os tempos e que ainda não foi demonstrado.

.::. Mas, o que é um número primo?

.::. Número primo é um número natural maior que 1, divisível apenas por 1 e por ele mesmo. Ou seja:

.::. Se \displaystyle\ p\in\mathbb{N} é primo, então \displaystyle\ p > 1 e seus únicos divisores são \displaystyle\ p e 1.

.::. O conjunto dos números primos pode ser denotado por:

\mathbb{P}=\{p\in\mathbb{N}|p é primo \}

.::. Da definição anterior, podemos concluir que:

..:: Se \displaystyle\ p\in\mathbb{P}, então:

 \forall\textrm{a,b}\in\mathbb{N}:\textrm{p=a.b}\Longrightarrow\textrm{a=1 e b=p ou a=p e b=1}.

.::. Todo número \ n>1\in\mathbb{N} que não é primo é chamado de número composto.

.::. Os números 0 e 1 não são considerados primos nem compostos.

.::. Os primeiros números primos são:

\textrm{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,...}

..:: O Teorema Fundamental da Aritmética.

.::. ” Todo número composto \ n > 1\in\mathbb{N} pode ser escrito como um produto de números primos.”

.::. Assim, \exists\ p_1, p_2, p_3, ..., p_n\in\mathbb{P}\textrm{ tais que }\ n=\ p_1.p_2.p_3.\cdots\ .p_n.

.::. Exemplos:

\ 4=2.2

\ 15=3.5

\ 20=2.2.5

\ 28=2.2.7

\ 144=2.2.2.2.3.3

\ 200=2.2.2.5.5

.::. E assim por diante.

..::  O Lema de Euclides:

.::. Se \ p é um número primo, e se \ p divide o produto \ a.b, sendo que \ a e \ b são números naturais, então ou \ p divide \ a ou \ p divide \ b. Em linguagem matemática: 

.::. Seja \ p\in\mathbb{P}. Então:

 \forall\ a,b\in\mathbb{N}:\ p|ab\Longrightarrow\ p|a ou \ p|b.

.::. Vamos demonstrar o lema. Suponhamos que \ p divida \ a.b, mas não divida o número \ a. Portanto, temos que \ mdc(p,a)=1. Assim, \ p divide \ b. Ou, suponhamos que \ p divida \ a.b, mas não divida o número \ b. Logo, temos que  \ mdc(p,b)=1. Assim, \ p divide \ a.

.::. A demonstração está completa. Para compreêndê-la melhor, é preciso estudar um pouco mais sobre a Teoria dos Números.

.::. Mas, uma consequência interessante do  lema de Euclides é a de que se temos um \ n>1\in\mathbb{N} tal que \ n=x.y e \ n é composto, então \ n|x.y, porém temos que tanto \ n  não divide \ x quanto \ n não divide \ y.

.::. Exemplo: Se \ 2|a.b,  temos a certeza absoluta de que um dos fatores é um múltiplo de \ 2. Mas, sabemos que \ 8|24, porém \ 8 não divide \ 6 nem \ 4, pois \ 6.4=24.

.::.Teorema de Euclides: “O conjunto dos números primos é infinito”.

.::. Demonstração: Suponhamos que \mathbb{P}=\{ p_1, p_2, ..., p_n\} seja um conjunto finito. Consideremos um número \ n>1\in\mathbb{N}, tal que \ n=p_1.p_2.\cdots\ .p_n+1. Pelo Teorema Fundamental da Aritmética, deve existir um primo \ P que divida esse número \ n. Porém, se \ P divide \ n, \ P  divide \ 1, o que é um absurdo. Caso exista tal número primo \ P, este deve ser diferente de \ p_1, p_2,...,p_n, pois sua divisão por \ n dá sempre resto \ 1. Logo, existe um novo número primo.

.::. Conclusão: O conjunto dos números primos é infinito!

.::. A função \pi\ (x) dos números primos.

.::. A função \pi\ (x) dos números primos é definida como a quantidade de números primos menores ou iguais a \ x, ou seja:

\pi\ (x)=\ |\{p\in\mathbb{P}\ |p\leqslant\ x\}\ |.

.::. Por exemplo:

a) Se \ 0\leqslant\ x<2, temos que \pi\ (x)=0.

b) Se \ 2\leqslant\ x<3, temos que \pi\ (x)=1.

c) Se \ 3\leqslant\ x<7, temos que \pi\ (x)=3.

.::. Existe um teorema, proposto por vários matemáticos, dentre eles Legendre e Gauss, mas cuja demonstração completa só foi encontrada em 1896, por de la Vallée Poussin e Hadamard de maneira independente, que é expresso da seguinte forma:

\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\pi\ (x)}{\frac{\ x}{\ ln|x|}}=1

.::. Ou seja, quando temos um \ x muito grande, a quantidade de números primos é dada por uma excelente aproximação de \displaystyle\frac{\ x}{\ ln |x|}.

.::. Teorema de Tchebychef. Para \ m\geq\ 2\in\mathbb{N}, temos que sempre existe um primo \ p tal que \ m<p<2m. Logo, para o enésimo primo \ p_n vale a estimativa: \ p_n\leq\ 2^{n}.

.::. Seja \ n\in\mathbb{N} um número ímpar.

 - \ n é um número primo, se e somente se, \displaystyle\ n=\left(\frac{\ n+1}{\ 2}\right)^{2}\ -\left(\frac{\ n-1}{\ 2}\right)^{2} é a única decomposição de \ n como diferença de dois quadrados, dado que \displaystyle\frac{\ n\pm\ 1}{2} é um número inteiro.

.::. Seja \ n=a.b, tal que \ 1\leq\ b\leq\ a\leq\ n\in\mathbb{N}. Seja \ a=x+y e \ b=x-y.

.::. Logo, \ n=(x+y)(x-y)\Longrightarrow\ n=x^{2}-y^{2}.

.::. Assim, \ n possui tantas decomposições distintas como diferença de dois quadrados quantas decomposições multiplicativas distintas ele admite. 

.::. Os primos de Fermat.

.::. São obtidos pela relação \ p_n=2^{2^{n}}+1, para \ n\in\mathbb{N}\cup\{\ 0\}.  Pierre de Fermat (1601 – 1665) acreditou que essa fórmula geraria apenas números primos para todo e qualquer \ n. Mas Euler (1707 – 1783), outro fantástico matemático, provou que essa indução é falsa para \ n=5. Para saber mais, leia o artigo princípio da indução.

.::. Os primos de Sophie Germain.

.::. Um número primo \ p é um número primo de Sophie Germain se \ 2p+1 é também primo. São famosos porque Sophie Germain (1776 – 1831), uma exímia matemática e teórica dos números, provou que o Último Teorema de Fermat é verdadeiro para estes números. A existência de um número infinito de tais números primos é uma conjectura, ou seja, uma afirmação não provada.

.::. Os primeiros primos de Sophie Germain são (sequência A005384 em OEIS):

2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233 …

.::. Os primos de Mersenne.

.::. Marin Mersenne (1588 – 1648) foi um frei franciscano que dedicou grande parte da sua vida em pesquisas matemáticas. Correpondia-se com grandes matemáticos da época, incluindo Fermat. Em um trabalho intitulado “Cognitata Physico-Mathematica” , Mersenne afirmou que \ 2^{m} -1 é primo para \ m=\{2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257\}.  Em um trabalho de 1947, mostrou-se que para \ m=\{61, 89, 107\}, \ 2^{m} -1 também é primo, e que \ 2^{257} -1 é composto. Atualmente, já se descobriram diversos outros primos de Mersenne.

.::. Sobre a Hipótese de Riemann.

.::. O matemático Bernhard Riemann (1826 – 1866) foi uma figura fantástica no campo da matemática. Contribuiu para diversas áreas do conhecimento matemático, como a análise e a geometria diferencial.  A hipótese de Riemann foi publicada pela primeira vez em 1859 , e declara que os zeros não-triviais da função zeta de Riemann pertencem todos à “linha crítica”:

.::. Função zeta de Riemann: \displaystyle\zeta\ (s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}},  para \mathbb{R}\ e(s)>1.

.::. onde \ s é um número complexo na forma \ s=a+bi.

.::. Os zeros triviais da função zeta de Riemann são os inteiros negativos pares -2,-4,-6,…

.::. Todos os zeros da função zeta que não são números reais estarão na reta vertical \ x=\frac{1}{2} . Essa reta é a chamada reta crítica. 

.::. A hipótese de Riemann sobre os números primos é de tal importância que tem intrigado os matemáticos há mais de 150 anos. A hipótese é um dos poucos problemas não resolvidos do programa de Hilbert e foi colocado como problema número 1 de Smale. É tão difícil que em 2000 o Clay Mathematics Institute ofereceu um prêmio de 1 milhão de dólares a quem prová-lo.

.::. Fontes:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_do_n%C3%BAmero_primo

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_primo_de_Sophie_Germain

http://pt.wikipedia.org/wiki/Primo_de_Mersenne

http://www.uniandrade.br/simposio/pdf/mat104.pdf

http://www.somatematica.com.br/coluna/gisele/27102004.php

Teoria dos Números – Texto de Aulas do Professor Rudolf R. Maier – Universidade Brasília UnB

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6 Respostas

  1. physike, em Dezembro 6th, 2007 às 9:59 am Diz:

    .::. Gostaria de agradecer especialmente ao meu amigo Américo, cujo excelente blog é http://problemasteoremas.wordpress.com, por ter me falado sobre o código $latex, o que possibilitou-me mais um aprendizado e permitiu que escrevesse este artigo. Neste blog, Américo também expõe dicas sobre como utilizar o código $latex.
    .::. Obrigado Américo!

  2. Américo Tavares, em Dezembro 6th, 2007 às 12:11 pm Diz:

    Caro Rodrigo!
    Não tem de quê.
    Obrigado por contribuir para o conhecimento do meu blog. Talvez, por isso, seja proporcionalmente bastante visto no Brasil.
    Há um “link” para a Teoria dos Números do Prof. Rudolf Maier, que é
    http://www.mat.unb.br/~maierr/tnotas.pdf
    Américo Tavares

  3. ..:: Função Zeta de Euler. « .::. Matemática - O Alfabeto de Deus :.: Math - The God`s Alphabet .::., em Dezembro 17th, 2007 às 1:44 pm Diz:

    [...] Em especial, para este artigo, desejo provar a belíssima relação desta função com os números primos, demonstrada pelo próprio [...]

  4. ..:: Euler Zeta Function (English Version). « .::. Matemática - O Alfabeto de Deus :.: Math - The God`s Alphabet .::., em Dezembro 19th, 2007 às 1:43 pm Diz:

    [...] particular, for this article, I wish to prove the function of this beautiful relationship with the prime numbers, demonstrated by the [...]

  5. rodrigo de oliveira, em Maio 24th, 2008 às 3:40 am Diz:

    .::. Os primos de Sophie Germain.

    Se os números primos são explicados com 2p+1 é um número primo, como me explicam o número 2 e o número 3..de onde eles sairam, já que o número 1 e 0 não são primos e sim números compostos?

    Alguém tem a resposta para isso?

    2, 3, 5, 11, 23, 29, 41, 53, 83, 89, 113, 131, 173, 179, 191, 233 …

  6. everton o matemático, em Outubro 14th, 2008 às 4:01 pm Diz:

    caro amigo não leve a mal ,eu não quelo le ofender mais a um equívoco ao comentar que 0 e 1 são números compostos,na verdade eles não se enquadram nesse conceito.

    espero ter lhe ajudado

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