..:: Fórmula geral para uma integral de ln|x|.

Publicado em Quinta-feira, 6 Dezembro, 2007 por physike

.::. Seja a integral \displaystyle\int\ x^{r}.ln x dx.

.::. Desejamos obter uma fórmula geral para este tipo de integral.

.::. Vamos obtê-la através de integração por partes.

.::. Seja \displaystyle\ u=ln x\Longrightarrow\ du=\frac{dx}{x}

.::. Seja \displaystyle\ dv=\ x^{r} dx\Longrightarrow\ v=\frac{x^{r+1}}{r+1}

.::. \displaystyle\int\ udv=\ uv -\int\ vdu

.::. \displaystyle\int\ x^{r}.ln x dx=\frac{x^{r+1}}{r+1}lnx -\int\frac{x^{r+1}}{r+1}\frac{dx}{x}

.::. \displaystyle\int\ x^{r}.ln x dx=\frac{x^{r+1}}{r+1}lnx -\frac{1}{r+1}\int\ x^{r}dx

.::. \displaystyle\int\ x^{r}.ln x dx=\frac{x^{r+1}}{r+1}lnx -\frac{x^{r+1}}{(r+1)^{2}} + C

.::. \displaystyle\int\ x^{r}.ln x dx=\frac{x^{r+1}}{r+1}\left( lnx -\frac{1}{(r+1)}\right)\ + C, para \ r\neq -1.

.::. Se \displaystyle\ r=-1, prova-se facilmente que:

.::. \displaystyle\int\ x^{r}.ln x dx=\frac{1}{2}\left( ln x\right)\ ^{2} + C.

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Uma resposta

  1. Integrais - cálculo automático « problemas | teoremas, em Dezembro 7th, 2007 às 7:54 am Diz:

    [...] cálculo deste integral está explicado nesta entrada da Matemática utilizando o método de integração por partes. Claro que é muito, mas muito mais [...]

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