::: Natureza Elegante: Os números de Fibonacci.

Publicado em Sexta-Feira, 6 Fevereiro, 2009 por physike

.::. Por ser um dos posts mais acessados deste blog, resolvi colocá-lo em destaque na primeira página novamente. Realmente é muito interessanta! Vale à pena conferir!

.::. ” Mas, onde se achará a sabedoria? E onde está o lugar da inteligência? O homem não lhe conhece o valor; não se acha na terra dos viventes.” Bíblia Sagrada, Jó:28.12-13

.::. Muitas teorias matemáticas, por diversas vezes simples, possuem uma conexão belíssima com fatos e eventos da natureza. Os números de Fibonacci (lê-se fibonati) são um belo exemplo disso. Mas, quem foi Fibonacci?

.::. Leonardo Pisano ou Leonardo de Pisa nasceu na Itália no ano de 1.170. Ficou conhecido simplesmente como Fibonacci, possívelmente o diminutivo do latim fillius Bonacci – filho de Bonaccio. Seu pai era um mercador do mundo árabe e, por isso, Leonardo fazia longas viagens à negócios com ele. Assim, ficou conhecendo o sistema de numeração hindu e logo passou a utilizá-lo em detrimento do sistema de numeração romano, predominante na europa medieval. Retornou à Pisa no ano de 1.200, e durante os 25 anos seguintes escreveu três obras importantes:

1) Líber Abacci – 1202 (considerada sua obra prima, é um tratado sobre Aritmética e Álgebra, na qual consta o problema da reprodução de coelhos, que diz-se ter originado a sequência de Fibonacci. Ao longo deste artigo, trataremos mais sobre o assunto.);

2) Practica Geometral – 1220;

3) Líber Quadratorum – 1225;

.::. Fibonacci, assim, ficou conhecido como o mais talentoso matemático da Idade Média, a Idade das Trevas do conhecimento.

.::. E os números de Fibonacci? O que são? Estes, formam uma sequência recursiva definida por:

\displaystyle\ F_{(n)}=\begin{cases}\ 1,&\textrm{se n=1}\\ 1,&\textrm{se n=2}\\ F_{(n-1)}+F_{(n-2)},&\textrm{para n}\ >2\end{cases}

.::. Logo, a sequência de Fibonacci é assim formada:

\displaystyle\textrm{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,...}

.::. Uma sequência numérica como esta, que aparentemente é inofensiva, possui aplicações importantíssimas. Por exemplo, podemos citar:

  1. Estudo genealógico de coelhos;
  2. Estudo genealógico de abelhas;
  3. Comportamento da luz;
  4. Comportamento de átomos;
  5. Crescimento de plantas;
  6. Ascenção e queda em bolsas de valores;
  7. Probabilidade e Estatística;

  8. Curvas com a forma espiralada como: Nautilus (marinho), galáxias, chifres de cabras da montanha, marfins de elefantes, filotaxia, rabo do cavalo marinho, onda no oceano, furacão, etc;

.::. Singela essa lista, não? Bom, vamos aprender um pouco mais sobre essa sequência.

.::. Algumas propriedades matemáticas:

a) \displaystyle\ F_{(n+1)} = F_{(n)} + F_{(n-1)}

\displaystyle\ F_1+F_2 = F_3\Longrightarrow\ 1+1=2

\displaystyle\ F_2+F_3 = F_4\Longrightarrow\ 1+2=3

\displaystyle\ F_3+F_4 = F_5\Longrightarrow\ 2+3=5

\vdots

\displaystyle\ F_{(n+1)} = F_{(n)} + F_{(n-1)}

b) Soma dos n termos da sequência de Fibonacci:

\displaystyle\ F_1+F_2+F_3+F_4+\cdots\ +F_{(n)}=F_{(n+2)}-1

\displaystyle\ 1+1+2+3=8-1

\displaystyle\ 1+1+2+3+5+8=21-1

\displaystyle\ 1+1+2+3+5+8+13+21+34=89-1

\vdots

.::. Demonstração por indução (para saber mais, leia o artigo princípio da indução finita):

i) Para \ n=1, temos:

\displaystyle\ F_1=F_3 -1=2-1=1 (verdadeiro)

ii) Para \ n=k temos que: \displaystyle\ F_1+F_2+F_3+...+F_{(k)}=F_{(k+2)}-1 (hipótese)

\ P(k)\Longrightarrow\ P(k+1). Para \ n=k+1, temos:

\displaystyle\ F_1+F_2+F_3+...+F_k+F_{(k+1)}=F_{(k+3)}-1 (tese)

.::. Partindo da tese, temos que \displaystyle\left( F_{(k+2)}-1\right)\ +F_{(k+1)}=F_{(k+3)}-1

.::. Logo, \displaystyle\ F_{(k+3)}=F_{(k+2)}+F_{(k+1)}

.::. Seja \displaystyle\ p= k+2\Longrightarrow\ p+1=k+3\ e\ p-1=k+1.

.::. Logo, chegamos a \displaystyle\ F_{(p+1)} = F_{(p)} + F_{(p-1)}, que constitui a propriedade dos números de Fibonacci.

.::. Como queríamos demonstrar.

c)   Ao observarmos o triângulo de Pascal com mais cuidado, percebemos que a soma de elementos de suas diagonais é dada pela seqüência de Fibonacci:

\displaystyle\dbinom{0}{0}

\displaystyle\dbinom{1}{0}\dbinom{1}{1}

\displaystyle\dbinom{2}{0}\dbinom{2}{1}\dbinom{2}{2}

\displaystyle\dbinom{3}{0}\dbinom{3}{1}\dbinom{3}{2}\dbinom{3}{3}

\vdots

.::. Para \displaystyle\dbinom{n}{p}\Longrightarrow\ C_{n,p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}

d)   Conversão de milhas para km: Por exemplo, para saber aproximadamente a quantos quilômetros 5 milhas correspondem, verifica-se o Número de Fibonacci que corresponde ao número de milhas (5) e pega -se o número seguinte da seqüência (8). Então 5 milhas são aproximadamente 8 quilômetros. Esse método funciona porque, por coincidência, o fator de conversão entre milhas e quilômetros (1,609) é próximo do número de ouro (1,618). Obviamente ele só é útil para aproximações bem grosseiras.

e)   Dividindo-se cada número da sequência de Fibonacci pelo seu antecessor, veremos que pouco a pouco essa razão aproxima-se do número de ouro – também conhecido como “razão áurea” – denotado pela letra grega Phi. A relação entre a seqüência de Fibonacci e a razão áurea foi estabelecida pela primeira vez pelo matemático escocês Robert Limpson em 1753.

\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_{n}}\ =1,618033989...=\Phi\ (Phi)

\displaystyle\ F_n={1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ...}

\displaystyle\frac{3}{2}=1,5

\displaystyle\frac{5}{3}=1,6666...

\displaystyle\frac{13}{8}=1,625

\displaystyle\frac{31}{13}=1,6153

\displaystyle\frac{55}{34}=1,6176...

\displaystyle\frac{89}{55}=1,6181...

\displaystyle\frac{144}{89}=1,6179...

\displaystyle\frac{233}{144}=1,6180...

.::. A razão entre os termos consecutivos da sequência de Fibonacci e sua relação com o número de ouro podem ser expressos através de um gráfico, como dado abaixo:

.::. Mas, o que é o número de ouro? Quais são suas aplicações?

.::. O número de ouro, razão áurea, razão de ouro ou divina proporção é uma constante matemática irracional – assim como o número pi -  representado pela letra grega Phi –  em homenagem ao escultor grego Phídeas, que muito o utilizou em suas obras.

.::. É conhecido e muito utlizado desde a Grécia e o Egito antigos para a construção de templos e esculturas, e aparece de forma muito abrangente e impressionante na natureza. Os artistas renascentistas também utilizavam muito esta razão áurea em suas obras de arte. Pode ser também encontrado em diversas arquiteturas da atualidade.

.::. A curiosidade sobre este número surgiu há mais de 2.500 anos, com a busca do método mais eficiente, harmonioso e simétrico para se dividir um segmento em duas partes. Euclides, de Alexandria, o famoso escritor de “Os Elementos”, já buscava métodos para se construir figuras geométricas da maneira mais bela possível, dividindo um segmento em duas partes.

.::. Seria a divisão em seu ponto médio? Não é bem assim…

.::. Por exemplo, seja um segmento de medida  a + b:

.::. A razão áurea é obtida através da proporção:

\displaystyle\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}=\Phi     (1)

.::. Logo, \displaystyle\ a=b\Phi.

.::. Substituindo em (1), temos:

\displaystyle\frac{b\Phi +b}{b\Phi}=\frac{b\Phi}{b}

\displaystyle\frac{b(\Phi +1)}{b\Phi}=\Phi

\displaystyle\Phi +1=\Phi^{2}

.::. Assim:

\displaystyle\Phi^{2} -\Phi - 1=0

.::. Uma das raízes da equação anterior é o número de ouro:

\displaystyle\Phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}= 1,618....

.::. Mas, onde iremos nos deparar com este fantástico número? Na natureza, ou nas obras de arte? Em ambos…

1) Parthenon, Monte Olimpo, Grécia – construído sob retângulos cujos lados estão na razão de ouro:

2)   A razão áurea está no corpo humano, representada por Leonardo da Vinci, em “O Homem Vitruviano”:

.::. A razão áurea pode ser obtida dividindo-se :

.:. A altura do corpo humano e a medida do umbigo até o chão.

.:. A altura do crânio e a medida da mandíbula até o alto da cabeça.

.:. A medida da cintura até a cabeça e o tamanho do tórax.

.:. A medida do ombro à ponta do dedo e a medida do cotovelo à ponta do dedo.

.:. O tamanho dos dedos e a medida da dobra central até a ponta.

.:. A medida do seu quadril ao chão e a medida do seu joelho até ao chão.

3) A razão de ouro também aparece de forma muito abrangente em figuras geométricas regulares, como o pentágono regular;

4)   As Pirâmides de Gizé, no Egito, também foram construídas baseadas na razão de ouro: a razão entre a altura de uma face e a metade do lado da base da grande pirâmide é igual ao número de ouro;

5) Podemos citar diversos outros exemplos, como a Basílica de são Pedro, no Vaticano – Itália; Obras como Mona Lisa, de Leonardo da Vinci; O Nascimento de Vênus, de Sandro Botticelli e obras como a de Salvador Dali, do século XX, etc…

.::. Mas, voltemos a falar sobre a sequência de Fibonacci. Apenas por estar diretamente interligada com a razão áurea, a sequência de Fibonacci poderia ser considerada uma relação matemática simplesmente fantástica! Mas, não paramos por aqui.

.::. Veremos que esta sequência possui diversas relações com elementos e fatos da natureza.

.::. A reprodução de coelhos:

.::. Suponhamos que um casal de coelhos, com um mês de idade, seja ainda muito jovem para se reproduzir. Mas, com dois meses de idade, este casal já se reproduza. Admitamos também que todos os meses, a partir dos dois meses de idade, dêem origem a um novo casal (macho e fêmea). Se todos os casais de coelhos se reproduzirem da mesma forma, quantos casais de coelhos haverá no fim de um ano?

.::. Podemos observar que a reprodução dos coelhos segue a sequência de Fibonacci e, ao final de um ano, que possui 12 meses, basta identificarmos o 12º termo da sequência para sabermos a quantidade de pares de coelhos, ou seja, 144.

.::. A espiral de Fibonacci, ou espiral dourada:

.::. Façamos dois quadrados de lado 1, um ao lado do outro. Obtemos um retângulo 2×1. Anexemos a estes um quadrado de lado 2. Obtemos um retângulo 3×2. Posteriormente, tracemos quadrados de lados 3, 5, 8, 13, 21, 34,…etc… anexando-os sempre aos retângulos obtidos.

.::. Com um compasso, façamos a quarta parte de uma circunferência ligando os vértices opostos dos quadrados obtidos, cujos raios são respectivamente (…) 34, 21, 13, 8, 5, 3, 2, 1 e 1. Obtemos, assim, a espiral de Fibonacci ou espiral logarítmica.

.::. Onde podemos encontrar as formas dessa espiral?

a) Espécies de conchas, de nome Nautilus Pompilius:

b) Galáxias, cactos, pinhas, rosas, rabos de camaleões, …

.::. Fibonacci no corpo humano - ver acima razão de ouro:

.::. Fibonacci na Filotaxia:

.::. Curiosamente, os números de Fibonacci surgem quando se  estudam o arranjo de folhas (filotaxia) e as espiras das folhas de diversas plantas e frutos.

.::. Observe a figura ao lado: após 2 voltas completas as folhas 1 e 6 estão na mesma posição vertical. Os ângulos entre essas folhas sobrepostas formam ângulos de 144°. Os números 2 e 5 estão na seqüência de Fibonacci e esse padrão ocorre em roseiras, cerejeiras e salgueiros.

.::. Em outras plantas, aparecem outros números da seqüência:

.:. repolho são 3 voltas e 8 folhas;

.:. pinhas do pinheiro são 8 voltas e 21 folhas;

.:. miolo das margaridas há 2 conjuntos de espirais, um no sentido dos ponteiros do relógio e outro ao contrário. As margaridas têm 21 espirais no sentido horário e 34 no anti- horário;

.:. no abacaxi são 8 e 13, sempre números de Fibonacci.

.::. Certas plantas mostram os números de Fibonacci no crescimento de seus galhos. Suponhamos que nasça um novo broto de um galho a cada mês, sendo que um broto leva dois meses para produzir o seu primeiro broto. A planta Achillea ptarmica possui estas características.

.::. Fibonacci e a Bolsa de Valores.

.::. O uso dos números de Fibonacci na bolsa de valores está baseado nos trabalhos pioneiros de Ralph Nelson ELLIOTT (1871-1948), um analista financeiro norte-americano que estudou o comportamento do índice Dow Jones, da Bolsa de Valores de Nova Iorque, a partir da década de 20 do século passado. Tendo presenciado a quebra da bolsa em 1929 e a Grande Depressão que dela se seguiu, Elliott concluiu que as flutuações da bolsa não eram aleatórias.

.::. Sua idéia básica é a de que as flutuações da bolsa seguem um padrão de crescimento e decrescimento que podem ser analisados segundo os números de Fibonacci, uma vez determinada a escala de observação. Assim, as relações entre picos e vales do gráfico da flutuação de bolsa tendem a seguir razões numéricas aproximadas das razões de dois números consecutivos da seqüência de Fibonacci. Como o próprio Elliott afirma, sua teoria não é capaz de prever com precisão as flutuações da Bolsa, mas de diminuir a probabilidade de riscos.

.::. Com este artigo, observamos que, definitivamente, algo misteriosamente matemático move o universo e a sociedade humana.

.::. “Não mais poderei sonhar a perfeição do Universo como sonham os pequeninos. Agora, eis que o sonho como o próprio Deus o fez: todo escrito sob a linguagem Matemática.” Rodrigo R. Gonçalez

.::. Obs: A maioria das fontes retiradas para a realização deste artigo saíram da internet, sendo as principais:

1) http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Fibonacci

2) http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.htm

3) http://www.viannajr.edu.br/revista/eco/doc/artigo_30001.pdf

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::: Um desafio interessante…

Publicado em Quinta-feira, 5 Fevereiro, 2009 por physike

.::. Você está para receber a sua sentença de morte. Os assassinos o desafiam:

- Faça uma afirmação qualquer. Se o que você falar for mentira, você morrerá na fogueira. Se falar a verdade, será afogado. Se não pudermos definir sua afirmação como verdade ou mentira, você será libertado.

:::  Deixe um comentario:  O que você  diria?

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::: Continuando o vaguear pelas congruências módulo m.

Publicado em Domingo, 18 Maio, 2008 por physike

.::. Do último teorema, do último artigo, podemos fazer coisas fantásticas com os números. Por exemplo:

.::. Eu quero saber o resto da divisão de \displaystyle\ 41^{65} por 7. Mas, para que isso? Calma…

.::. Bom, eu sei que 41\equiv\ -1(mod\ 7), pois 7 | 41-(-1).

.::. Utilizando aquele último teorema, eu posso fazer: 41^{65}\equiv\ (-1)^{65}(mod\ 7), que tem como resultado:

41^{65}\equiv\ -1(mod\ 7)

.::. Mas também sabemos que -1\equiv\ 6(mod\ 7).

.::. Logo, temos que:

41^{65}\equiv\ -1(mod\ 7) e  -1\equiv\ 6(mod\ 7) \Rightarrow 41^{65}\equiv\ 6(mod\ 7).

.::. Ou seja, o resto dessa divisão é igual a 6.

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.::. Utilizando os demais teoremas demonstrados no artigo anterior, podemos saber qual é, por exemplo, o resto da divisão de 7^{100}+11^{100} por 13.

.::. Bem, sabemos que 7^{2}\equiv\ 10(mod\ 13). Podemos fazer:

7^{4}\equiv\ 10^{2}(mod\ 13)\Rightarrow\ 7^{4}\equiv\ 100(mod\ 13)

.::. Mas 100\equiv\ 9(mod\ 13). Então, 7^{4}\equiv\ 9(mod\ 13).

.::. Continuando… 7^{8}\equiv\ 81(mod\ 13). Mas 81\equiv\ 3(mod\ 13). Então:

7^{8}\equiv\ 3(mod\ 13)

.::. Podemos dar um salto maior agora, já que 7^{24}\equiv\ 27(mod\ 13), e como 27\equiv\ 1(mod\ 13), então 7^{24}\equiv\ 1(mod\ 13).

7^{96}\equiv\ 1^{4}(mod\ 13)

7^{100}\equiv\ 7^{4}(mod\ 13)

.::. Mas 7^{4}\equiv\ 9(mod\ 13), então concluímos que 7^{100}\equiv\ 9(mod\ 13).

.::. Agora, vamos fazer 11^{2}\equiv\ 4(mod\ 13).

11^{6}\equiv\ 64(mod\ 13). Mas 64\equiv\ -1(mod\ 13). Então:

11^{6}\equiv\ -1(mod\ 13)

11^{96}\equiv\ (-1)^{16}(mod\ 13)\Rightarrow\ 11^{96}\equiv\ 1(mod\ 13)

11^{100}\equiv\ 11^{4}(mod\ 13)\Rightarrow\ 11^{100}\equiv\ 3(mod\ 13)

.::. Então, podemos combinar ambas as respostas, e fazer:

7^{100}+11^{100}\equiv\ 9+3(mod\ 13) \Rightarrow 7^{100}+11^{100}\equiv\ 12(mod\ 13)

.::. Ou seja, o resto dessa divisão é igual a 12.

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.::. Mais um exemplo: gostaria de saber o último algarismo do número 3^{300}.

.::. O último algarismo de um número é o resto da divisão dele por 10. Então, vamos passo a passo:

3^{2}\equiv\ -1(mod\ 10)

(3^{2})^{150}\equiv\ (-1)^{150}(mod\ 10)

3^{300}\equiv\ 1(mod\ 10)

.::. Ou seja, o último algarismo desse número é 1.

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.::. E para calcular o resto da divisão de:

\displaystyle\ 74892^{359}.6379^{207}.9538^{179}.3756^{729}

por 5 ? :OOOOO

.::. Bom, vamos começar por 74892^{359}. Sabemos que \displaystyle\ 74892\equiv\ 2(mod\ 5) – faça os cálculos!. E também sabemos que \displaystyle\ 2^{2}\equiv\ -1(mod\ 5). Logo:

\displaystyle\ (2^{2})^{179}\equiv\ (-1)^{179}(mod\ 5)

\displaystyle\ 2^{358}\equiv\ -1(mod\ 5)

\displaystyle\ 2.2^{358}\equiv\ 2.(-1)(mod\ 5)

\displaystyle\ 2^{359}\equiv\ -2(mod\ 5)\Rightarrow\ -2\equiv\ 3(mod\ 5)

\displaystyle\ 2^{359}\equiv\ 3(mod\ 5)\Rightarrow\ 74892^{359}\equiv\ 3(mod\ 5) (A).

.::. Agora, vamos passar para \displaystyle\ 6379^{207}. Sabemos que \displaystyle\ 6379\equiv\ 4(mod\ 5) e que \displaystyle\ 4\equiv\ -1(mod\ 5). Logo:

\displaystyle\ 4^{206}\equiv\ (-1)^{206}(mod\ 5)

\displaystyle\ 4^{206}\equiv\ 1(mod\ 5)

\displaystyle\ 4.4^{206}\equiv\ 4.1(mod\ 5)

\displaystyle\ 4^{207}\equiv\ 4(mod\ 5)\Rightarrow\ 6379^{207}\equiv\ 4(mod\ 5) (B).

.::. Agora, faremos: \displaystyle\ 9538^{179}. Bem:

\displaystyle\ 9538\equiv\ 3(mod\ 5)

\displaystyle\ 3^{2}\equiv\ -1(mod\ 5)

\displaystyle\ (3^{2})^{89}\equiv\ (-1)^{89}(mod\ 5)

\displaystyle\ 3^{178}\equiv\ -1(mod\ 5)

\displaystyle\ 3.3^{178}\equiv\ 3.(-1)(mod\ 5)

\displaystyle\ 3^{179}\equiv\ -3(mod\ 5)\Rightarrow\ -3\equiv\ 2(mod\ 5)

\displaystyle\ 3^{179}\equiv\ 2(mod\ 5)\Rightarrow\ 9538^{179}\equiv\ 2(mod\ 5) (C).

.::. Por último, faremos \displaystyle\ 3756^{729}. Da mesma maneira, temos:

\displaystyle\ 3756\equiv\ 1(mod\ 5)

\displaystyle\ 3756^{729}\equiv\ 1(mod\ 5) (D).

.::. Agora, resolvendo o produto:

\displaystyle\ 74892^{359}.6379^{207}.9538^{179}.3756^{729}\equiv\ 3.4.2.1(mod\ 5)

\displaystyle\ 74892^{359}.6379^{207}.9538^{179}.3756^{729}\equiv\ 24(mod\ 5)

.::. Mas, 24\equiv\ 4(mod\ 5). Então:

\displaystyle\ 74892^{359}.6379^{207}.9538^{179}.3756^{729}\equiv\ 4(mod\ 5)

.::. Ou seja, o resto dessa divisão é 4!!!!!!

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::: Um papo sobre congruências e aritmética módulo m.

Publicado em Domingo, 18 Maio, 2008 por physike

.::. Sabemos que \displaystyle 8 dividido por \displaystyle 7 é igual a \displaystyle 1, e o resto é \displaystyle 1. Aritmeticamente, escrevemos:

\displaystyle 8 = 7.1 + 1

.::. Sabemos também que \displaystyle 20 dividido por \displaystyle 5 é igual a \displaystyle 4 e o resto é \displaystyle 0. Podemos dizer que:

\displaystyle 20 = 5.4 + 0

.::. Nesse caso, dizemos que \displaystyle 5 divide \displaystyle 20, ou seja, 5 | 20.

 .::. Ou seja, dados \displaystyle\ a\in\mathbb{Z}\ ,b\in\mathbb{Z^{*}}, existem \displaystyle\ q, r\in\mathbb{Z} unicamente determinados tais que \displaystyle\ a=b.q+r e \displaystyle\ 0\leq\ r<b.

.::. Sejam, então, \displaystyle\ a, b, m\in\mathbb{Z}\ ,m\ >\ 0. Dizemos que \displaystyle\ a é congruente a \displaystyle\ b módulo \displaystyle\ m se, e somente se, \displaystyle m divide \displaystyle\ a-b.

::: Notação: \displaystyle\ a\equiv\ b(mod\ m)\Leftrightarrow\ m | (a-b) ou \displaystyle\ a-b=k.m\ , k\in\mathbb{Z}.

.::. Exemplos:

\displaystyle\ 20\equiv\ 4(mod\ 8), pois 8 divide 20-4

\displaystyle\ 8\equiv\ 1(mod\ 7), pois 7 divide 8-1

\displaystyle\ 20\equiv\ 0(mod\ 5), pois 5 divide 20-0

.::. Se \displaystyle\ a\equiv\ b(mod\ m) e \displaystyle\ b\equiv\ c(mod\ m), então:

\displaystyle\ a\equiv\ c(mod\ m)\Leftrightarrow\ m | (a-c).

::: Demonstração:

::: \displaystyle\ a-b=h.m\Leftrightarrow\ m|(a-b)

::: \displaystyle\ b-c=k.m\Leftrightarrow\ m|(b-c)

::: \displaystyle\ (a-b)+(b-c)=a-c\Leftrightarrow\ h.m+k.m=m.(h+k)

Logo,

\displaystyle\ a-c=m.(h+k), ou seja, m divide a-c c.q.d.

.::. Por exemplo, podemos provar que \displaystyle\forall\ n\in\mathbb{Z}, temos que \displaystyle\ n\equiv\ 7(mod\ 12)\Rightarrow\ n\equiv\ 3(mod\ 4).

Solução: Se \displaystyle\ 12 | (n-7)\Leftrightarrow\ n-7=12.k.

::: Vamos somar 4 a ambos os termos de n-7=12.k. Assim:

n-7+4=12.k+4\Rightarrow\ n-3=12.k+4\Rightarrow\ n-3=4(3k+1)

::: Isso significa que \displaystyle\ 4 | (n-3)\Rightarrow\ n\equiv\ 3(mod\ 4). c.q.d.

::: Mais um teorema.

::: Se a\equiv\ b(mod\ m) e c\equiv\ d(mod\ m), então:

a\pm\ c\equiv\ b\pm\ d(mod\ m) 

::: Demonstração:

a\equiv\ b(mod\ m)\Rightarrow\ a-b=k.m

c\equiv\ d(mod\ m)\Rightarrow\ c-d=h.m

::: Somando-se agora:

\displaystyle\ (a-b)+(c-d)=k.m+h.m\Rightarrow\ (a-b)+(c-d)=m.(k+h)

::: Mas,

\displaystyle\ (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d)\Rightarrow\ (a+c)-(b+d)=m.(k+h).

::: Ou seja, \displaystyle\ m | (a+c)-(b+d).

::: Assim, a\pm\ c\equiv\ b\pm\ d(mod\ m) c.q.d.

::: Um teorema muito importante!

.::. Se a\equiv\ b(mod\ m), então:

a^{n}\equiv\ b^{n}(mod\ m), \forall\ n\in\mathbb{Z+}

::: Demonstração por indução: (clique aqui para ler o artigo sobre indução finita):

i) Para n=1, temos a^{n}\equiv\ b^{n}(mod\ m)\Rightarrow\ a\equiv\ b(mod\ m)

ii) Para n=k, temos a^{k}\equiv\ b^{k}(mod\ m) => hipótese

iii) Para n=k+1, temos a^{k+1}\equiv\ b^{k+1}(mod\ m) => tese

::: De i) e ii), temos que a\equiv\ b(mod\ m) e a^{k}\equiv\ b^{k}(mod\ m).

::: Mas, se temos a\equiv\ b(mod\ m) e c\equiv\ d(mod\ m), podemos fazer:

a.c\equiv\ b.d(mod\ m) 

::: Demonstração:

.::. Se \displaystyle\ a-b=km, podemos fazer: \displaystyle\ ac-bc=ckm

.::. Mas, se \displaystyle\ c-d=hm\Rightarrow\ c=hm+d. Logo,

\displaystyle\ ac-(bhm+bd)=ckm\Rightarrow\ ac-bd=m(ck+bh)\Rightarrow\ m | (ac-bd) c.q.d.

::: Logo, para a\equiv\ b(mod\ m) e a^{k}\equiv\ b^{k}(mod\ m) temos:

a^{k}.a\equiv\ b^{k}.b(mod\ m)\Rightarrow\ a^{k+1}\equiv\ b^{k+1}(mod\ m) c.q.d. 

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::: Universos Paralelos.

Publicado em Sábado, 17 Maio, 2008 por physike

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..:: Um novo tipo de função.

Publicado em Sexta-Feira, 21 Dezembro, 2007 por physike

.::. Um novo tipo de função, ou uma nova maneira de enxergar funções. A Matemática é realmente maravilhosa. É possível modelar diferentes métodos de interpretação, sem que estes estejam equivocados.

.::. Bom estive imaginando uma nova maneira de enxergar uma função. Nada que seja rigoroso, nem mesmo necessita ser didático, ou “matematicamente correto”.

.::. Estamos habituados a trabalhar com funções cujos gráficos são determinados a partir de pontos obtidos pela interseção de retas perpendiculares entre si. Veja a figura abaixo:

.::. Mas, na realidade, podemos “construir” uma função da maneira que desejarmos. Por exemplo, seja uma função \phi ou f(\lambda) formada pela interseção de circunferências de centros:

\displaystyle\ C_{\lambda}=(\lambda\ ,0)\\ C_{\phi}=(0,\phi)\Longrightarrow\lambda ,\phi\in\mathbb{R}

.::. Cujos raios são, respectivamente, \displaystyle\ |\lambda |\ e\ |\phi |.

.::.   Nesta função, a variável independente é \lambda, e a variável dependente \phi. Quando se diz, por exemplo, que \lambda assume um valor qualquer, devemos traçar uma circunferência de centro em (\lambda ,0) de raio  \ |\lambda | e, para o valor obtido para \phi, uma circunferência de centro (0,\phi ) de raio \ |\phi |.

.::. Exemplo:

.::. Observemos que as circunferências se encontram nos pontos P(x,y) e na origem do plano (0,0).

.::. Se \phi é uma função polinomial, podemos ter:

 \phi =f(\lambda )=a_0+a_1\lambda +a_2\lambda ^{2}+\cdots\ a_n\lambda ^{n}, por exemplo.

.::. Mas, para termos uma noção analítica do que ocorre com tal função dispondo das notações que estamos habituados, podemos interpretá-la da seguinte forma:

.::. Sabemos que a equação reduzida de uma circunferência de centro C(a,b) é dada por:

\displaystyle\ (x-a)^{2} + (y-b)^{2}=r^{2}

.::. Portanto, podemos fazer:

1) Para \displaystyle\ C_{\lambda}=(\lambda\ ,0):

\displaystyle\ (x-\lambda )^{2} + (y)^{2}=\lambda ^{2}

\displaystyle\ x^2\ +y^2\ -2.x.\lambda\ =0

\displaystyle\lambda =\frac{x^2+y^2}{2x}      (1)

1) Para \displaystyle\ C_{\phi}=(0,\lambda ):

\displaystyle\ (x )^{2} + (y-\phi)^{2}=\phi ^{2}

\displaystyle\ x^2\ +y^2\ -2.y.\phi\ =0

\displaystyle\phi =\frac{x^2+y^2}{2y}      (2)

.::. Assim, podemos ver que tanto \phi como \lambda são funções do tipo f(x,y).

.::. Seja a função \phi =a\lambda +b uma função do primeiro grau, tal que a,b\in\mathbb{R}\Rightarrow\ a\neq 0.

.::. Substituindo as relações (1) e (2) na função acima, obtemos:

\displaystyle\phi =a\lambda +b\Longrightarrow\frac{x^2+y^2}{2y}=a\left(\frac{x^2+y^2}{2x}\right)\ +b

.::. Resolvendo a igualdade acima, obtemos: 

\displaystyle\ x^3-ay^3+xy^2-ax^2y-2bxy=0

.::. Uma função analítica implícita, que depende unicamente dos coeficientes a e b de \phi.

.::. O resultado mais belo obtido por essa função é seu gráfico. Observe alguns exemplos:

a) \phi =\lambda +2

 

b) \phi =\lambda

 

c) \phi =-\lambda -1

 

d) \phi =-3\lambda +8

e) \phi =-3\lambda -3

 

.::. Seja agora \displaystyle\phi =\frac{a\lambda +b}{c\lambda +d} uma função composta, tal que \displaystyle\ a,b,c,d\in\mathbb{R}\Longrightarrow\ a,c\neq 0\ e\ \lambda\neq\frac{-d}{c}.

.::. Substituindo as relações \displaystyle\phi =\frac{x^2+y^2}{2y} e \displaystyle\lambda =\frac{x^2+y^2}{2x} na função acima, obtemos:

\displaystyle\ c(x^2+y^2)^2+2(x^2+y^2)(dx-ay)-4bxy=0

.::. Exemplos:

a) \displaystyle\phi =\frac{\lambda +1}{\lambda}

 

b) \displaystyle\phi =\frac{\lambda +10}{2\lambda +1}

 

 .::. Observação: curva muito semelhante à lemniscata de Bernoulli.

c) \displaystyle\phi =\frac{\lambda +10}{10\lambda +1}

.::. A lemniscata de Bernoulli é uma curva da forma \displaystyle\ (x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2).

.::. É um tipo de oval de Cassini, que é definida como o lugar dos pontos do plano, cujo produto das distâncias a dois pontos fixos do plano é constante. Sendo os pontos (a,0) e (-a,0) e a constante for k, a equação da oval será:

\displaystyle\ [(x-a)^2+y^2].[(x+a)^2+y^2]=k^2

.::. Para k=a^2, a lemniscata é uma oval cuja equação está representada acima.

 

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..:: Euler Zeta Function (English Version).

Publicado em Quarta-feira, 19 Dezembro, 2007 por physike

.::. Because the articles of my friend Americo Tavares, I decide write an article about the Euler zeta function, defined by:

\displaystyle\zeta (s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+...+\frac{1}{n^{s}}+...

.::. and it is absolutely convergent if, and only if, s>1. 

.::. In particular, for this article, I wish to prove the function of this beautiful relationship with the prime numbers, demonstrated by the Euler:

\displaystyle\zeta (s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}=\displaystyle\Pi_{p\ prime}\left( 1-\frac{1}{p^{s}}\right) ^{-1}

or,

\displaystyle\zeta (s)=\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right) ^{-1}.\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right) ^{-1}.\left( 1-\frac{1}{5^{s}}\right) ^{-1}.\left( 1-\frac{1}{7^{s}}\right) ^{-1}.\cdots

.::. Demonstration.

.::. We know that:

\displaystyle\zeta (s)=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+...+\frac{1}{n^{s}}+... (1)

.::. Be:

\displaystyle\frac{1}{2^{s}}\zeta (s)=\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{6^{s}}+\frac{1}{8^{s}}+... (2)

.::. Do it now (1) – (2):

\displaystyle\zeta (s)-\frac{1}{2^{s}}\zeta (s)=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+...-\frac{1}{2^{s}}-\frac{1}{4^{s}}-\frac{1}{6^{s}}-\frac{1}{8^{s}}-\cdots

.::. This implies that:

\displaystyle\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=1+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\cdots

 .::. Be now:

\displaystyle\frac{1}{3^{s}}\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\frac{1}{15^{s}}+\frac{1}{21^{s}}+\cdots

.::. Do that \displaystyle\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)-\frac{1}{3^{s}}\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s), in order to achieve:

\displaystyle\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=1+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+...-\frac{1}{3^{s}}-\frac{1}{9^{s}}-\\-\frac{1}{15^{s}}-\frac{1}{21^{s}}-\cdots

.::. Therefore, we must::

\displaystyle\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=1+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{17^{s}}+...

.::. According to the equation above, we do:

\displaystyle\frac{1}{5^{s}}\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{25^{s}}+\frac{1}{35^{s}}+...

.::. We can operate now:

\displaystyle\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)-\frac{1}{5^{s}}\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)

.::. Please note the result:

\displaystyle\left( 1-\frac{1}{5^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=1+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+...-\frac{1}{5^{s}}-\\ -\frac{1}{25^{s}}-\frac{1}{35^{s}}-...

.::. This implies that:

\displaystyle\left( 1-\frac{1}{5^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=1+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+...

.::. Note that the limited, we are eliminating all multiples of \displaystyle\frac{1}{2^{s}}, \displaystyle\frac{1}{3^{s}}, \displaystyle\frac{1}{5^{s}}, and so forth, including themselves. So, if continue this way with all the cousins, there will be left only to the 1, for induction. So:

\displaystyle\Pi_{p\ prime}\left(1-\frac{1}{p^{s}}\right)\zeta (s)=1

were \Pi denotes product. 

\displaystyle\Pi_{p\ prime}\left(1-\frac{1}{p^{s}}\right)\zeta (s)=1\Longrightarrow\zeta (s)=\Pi_{p\ prime}\left( 1-\frac{1}{p^{s}}\right) ^{-1}

.::. How would demonstrate.

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..:: Imagem do dia.

Publicado em Quarta-feira, 19 Dezembro, 2007 por physike

..:: Para ver a imagem no tamanho original, clique aqui. 

.::. Com certeza a imagem do dia, e talvez do ano, seja a obtida por vários astrônomos através de diversos e potentes telescópios. Afinal, isto é o que constitui a ciência: o trabalho em conjunto. A imagem é de um buraco negro expelindo jatos luminescentes de matéria - constituída basicamente por partículas - no espaço cósmico, como que “metralhando” uma outra galáxia.

.::. “Já observamos fenômenos produzidos por buracos negros, mas esta é a primeira vez que os vemos atingir uma galáxia desta maneira”, revelou Dan Evans, pesquisador do Centro de Astrofísica Harvard-Smithsonian em Cambridge, que dirigiu o estudo.

.::. Estes lançamentos de partículas dos buracos negros produzem níveis elevados de radiação, que combinados com a velocidade das partículas – próxima a da luz – são capazes de danificar severamente a atmosfera dos planetas que estão em seu trajeto. Entre os possíveis efeitos estão a destruição da camada de ozônio que protege os planetas, destacou a Nasa. O fenômeno foi observado no sistema 3C321, que abriga duas galáxias em órbita uma em torno da outra.

..:: Fonte: http://afp.google.com/article/ALeqM5ism207cFIe5Y6KTAs73pjZ2TI4vQ

.::. Para a concepção da imagem, foram coletados dados de raios  X  – Chandra (roxo), ópticos e ultravioletas (UV)  - Hubble (vermelha e laranja), e as emissões de rádio do Very Large Array (VLA) e MERLIN (azul). 

.::. Esses dados mostram duas galáxias vizinhas, e o jato sendo expelido ferozmente do buraco negro do centro da galáxia do canto inferior esquerdo da imagem em direção à outra galáxia. Este jato de matéria é, assim, ”rebatido” na galáxia vizinha, assim como ocorre com o jato de água de uma mangueira que é interceptado por um muro. Neste caso, o muro gravitacional da galáxia vizinha causa perturbações drásticas no jato de matéria. Um imagem belíssima e extremamente rara, nunca obtida anteriormente. 

.::. Buraco Negro é uma região do espaço onde o campo gravitacional é tão forte que nada sai dessa região, nem a luz. Um campo gravitacional forte o suficiente para impedir que a luz escape pode ser produzido, teoricamente, por grandes quantidades de matéria ou matéria em altíssimas densidades.

.::. Uma vez que nada sai de um buraco negro, nada de um buraco negro chega até nós. Resta então apenas observá-lo indiretamente, através de sua ação sobre sua vizinhança. Observa-se um buraco negro verificando os  fatos e fenômenos que o rodeiam sob a ação do seu campo gravitacional.

.::. Para saber mais:

http://socrates.if.usp.br/~carvajr/buraco.html

http://www.observatorio.ufmg.br/pas19.htm

http://www.nasa.gov

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..:: Função Zeta de Euler.

Publicado em Segunda-feira, 17 Dezembro, 2007 por physike

.::. Motivado pelos artigos de meu amigo Américo Tavares, resolvi escrever um artigo sobre a função zeta de Euler, definida por:

\displaystyle\zeta (s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+...+\frac{1}{n^{s}}+...

que é absolutamente convergente se, e somente se, s>1. 

.::. Em especial, para este artigo, desejo provar a belíssima relação desta função com os números primos, demonstrada pelo próprio Euler:

\displaystyle\zeta (s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}=\displaystyle\Pi_{p\ primo}\left( 1-\frac{1}{p^{s}}\right) ^{-1}

ou seja,

\displaystyle\zeta (s)=\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right) ^{-1}.\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right) ^{-1}.\left( 1-\frac{1}{5^{s}}\right) ^{-1}.\left( 1-\frac{1}{7^{s}}\right) ^{-1}.\cdots

.::. Demonstração.

.::. Sabemos que:

\displaystyle\zeta (s)=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+...+\frac{1}{n^{s}}+... (1)

.::. Seja

\displaystyle\frac{1}{2^{s}}\zeta (s)=\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{6^{s}}+\frac{1}{8^{s}}+... (2)

.::. Façamos agora (1) – (2):

\displaystyle\zeta (s)-\frac{1}{2^{s}}\zeta (s)=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+...-\frac{1}{2^{s}}-\frac{1}{4^{s}}-\frac{1}{6^{s}}-\frac{1}{8^{s}}-\cdots

.::. Isto implica que:

\displaystyle\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=1+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\cdots

 .::. Seja, agora,

\displaystyle\frac{1}{3^{s}}\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\frac{1}{15^{s}}+\frac{1}{21^{s}}+\cdots

.::. Façamos \displaystyle\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)-\frac{1}{3^{s}}\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s), afim de obtermos:

\displaystyle\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=1+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+...-\frac{1}{3^{s}}-\frac{1}{9^{s}}-\\-\frac{1}{15^{s}}-\frac{1}{21^{s}}-\cdots

.::. Logo, temos que:

\displaystyle\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=1+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{17^{s}}+...

.::. De acordo com a relação acima, vamos fazer:

\displaystyle\frac{1}{5^{s}}\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{25^{s}}+\frac{1}{35^{s}}+...

.::. Podemos, assim, operar:

\displaystyle\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)-\frac{1}{5^{s}}\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)

.::. Observe o resultado:

\displaystyle\left( 1-\frac{1}{5^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=1+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+...-\frac{1}{5^{s}}-\\ -\frac{1}{25^{s}}-\frac{1}{35^{s}}-...

.::. Isto implica que:

\displaystyle\left( 1-\frac{1}{5^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=1+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+...

.::. Observe que, aos poucos, estamos eliminando todos os múltiplos de \displaystyle\frac{1}{2^{s}}, \displaystyle\frac{1}{3^{s}}, \displaystyle\frac{1}{5^{s}}, e assim sucessivamente, inclusive eles próprios. Logo, se prosseguirmos desta forma com todos os primos, haverá de restar apenas o 1, por indução. Assim:

\displaystyle\Pi_{p\ primo}\left(1-\frac{1}{p^{s}}\right)\zeta (s)=1

onde \Pi denota produtório. 

\displaystyle\Pi_{p\ primo}\left(1-\frac{1}{p^{s}}\right)\zeta (s)=1\Longrightarrow\zeta (s)=\Pi_{p\ primo}\left( 1-\frac{1}{p^{s}}\right) ^{-1}

.::. Como queríamos demonstrar.

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..:: Uma questão da UFJF – 2007.

Publicado em Segunda-feira, 17 Dezembro, 2007 por physike

.::. Estava observando a prova do vestibular da Universidade Federal de Juiz de Fora / MG (UFJF) deste ano, e deparei-me com uma questão muito interessante, que dizia:

Questão 3. A área do hexágono regular ABCDEF é 180\ cm^{2}.

Qual a área do triângulo sombreado, em centímetros quadrados?

a) 10

b) 15

c) 20

d) 25

e) 30

Solução:

.::. Vamos chamar o lado do hexágono regular ABCDEF de L. A área do hexágono regular é dada pela fórmula:

\displaystyle\ A_{6}=3L^{2}\frac{\sqrt{3}}{2}

.::. Logo, podemos fazer:

\displaystyle\ 180=3L^{2}\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\ L^{2}=40\sqrt{3}

.::.  Observemos agora que, no interior do hexágono maior, há um hexágono HIJLMN, igualmente regular, menor. Chamemos a medida de seus lados de l.

.::. Queremos provar que o lado AH é côngruo ao lado FH. Isso é simples. A medida do ângulo interno de um hexágono regular é dada por:

 \displaystyle\ a_i=\frac{(n-2)180^{o}}{n}\Rightarrow\ a_6=120^{o}

.::. Portanto, observe a figura abaixo:

.::. Os triângulos AHI, FHN, ENM, DML, CLJ, BJI são todos equiláteros, e as medidas de seus lados são l. Utilizando a lei dos co-senos \displaystyle\ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc.cos\widehat{A}, temos:

\displaystyle\ L^{2}=l^{2}+l^{2}-2l^{2}.cos\ 120^{o}

\displaystyle\ 40\sqrt{3}=2.l^{2}-2l^{2}.(-cos\ 60^{o})

\displaystyle\ 40\sqrt{3}=2.l^{2}\left( 1+\frac{1}{2}\right)

\displaystyle\ 40\sqrt{3}=2.l^{2}\frac{3}{2}

\displaystyle\ l^{2}=40\frac{\sqrt{3}}{3}

.::. A área do triângulo AFH pode ser dada pela lei dos senos para o cálculo de áreas para triângulos:

\displaystyle\ A_3=\frac{1}{2}bc.sen\widehat{A}

\displaystyle\ A_3=\frac{1}{2}l^{2}.sen\ 120^{o}

\displaystyle\ A_3=\frac{1}{2}.40\frac{\sqrt{3}}{3}.sen\ 60^{o}

\displaystyle\ A_3=20.\frac{\sqrt{3}}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}

\displaystyle\ A_3=10\ cm^{2}

.::. Se, porventura, o aluno veio a se esquecer da fórmula acima, pode-se calcular a mesma área por:

\displaystyle\ A_3=\frac{b.h}{2}\Rightarrow\ A_3=\frac{L.h}{2}   (1)

.::. Ainda não temos h, que pode ser calculada por:

\displaystyle\ l^{2}=\frac{L^{2}}{4}+h^{2}

\displaystyle\ 40\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{40\sqrt{3}}{4}+h^{2}

\displaystyle\ h^{2}=\frac{10\sqrt{3}}{3}

 

.::. Voltando em (1), temos que:

\displaystyle\ A^{2}_3=\frac{L^{2}.h^{2}}{4} 

\displaystyle\ A^{2}_3=\frac{40\sqrt{3}.10\sqrt{3}}{12} 

\displaystyle\ A^{2}_3=100 

\displaystyle\ A_3=10\ cm^{2}

.::. Conclusão: Excelente questão!

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