.::. Matemática - O Alfabeto de Deus :.: Math

::: Continuando o vaguear pelas congruências módulo m.

Postado no Domingo, 18 Maio, 2008 de physike

.::. Do último teorema, do último artigo, podemos fazer coisas fantásticas com os números. Por exemplo:

.::. Eu quero saber o resto da divisão de $\displaystyle\ 41^{65}$ por $7$ . Mas, para que isso? Calma…

.::. Bom, eu sei que $41\equiv\ -1(mod\ 7)$ , pois $7 | 41-(-1)$ .

.::. Utilizando aquele último teorema, eu posso fazer: $41^{65}\equiv\ (-1)^{65}(mod\ 7)$ , que tem como resultado:

$41^{65}\equiv\ -1(mod\ 7)$

.::. Mas também sabemos que $-1\equiv\ 6(mod\ 7)$ .

.::. Logo, temos que:

$41^{65}\equiv\ -1(mod\ 7)$ e $-1\equiv\ 6(mod\ 7)$ $\Rightarrow$ $41^{65}\equiv\ 6(mod\ 7)$ .

.::. Ou seja, o resto dessa divisão é igual a $6$ .

_________________________________________________________________________________

.::. Utilizando os demais teoremas demonstrados no artigo anterior, podemos saber qual é, por exemplo, o resto da divisão de $7^{100}+11^{100}$ por $13$ .

.::. Bem, sabemos que $7^{2}\equiv\ 10(mod\ 13)$ . Podemos fazer:

$7^{4}\equiv\ 10^{2}(mod\ 13)\Rightarrow\ 7^{4}\equiv\ 100(mod\ 13)$

.::. Mas $100\equiv\ 9(mod\ 13)$ . Então, $7^{4}\equiv\ 9(mod\ 13)$ .

.::. Continuando… $7^{8}\equiv\ 81(mod\ 13)$ . Mas $81\equiv\ 3(mod\ 13)$ . Então:

$7^{8}\equiv\ 3(mod\ 13)$

.::. Podemos dar um salto maior agora, já que $7^{24}\equiv\ 27(mod\ 13)$ , e como $27\equiv\ 1(mod\ 13)$ , então $7^{24}\equiv\ 1(mod\ 13)$ .

$7^{96}\equiv\ 1^{4}(mod\ 13)$

$7^{100}\equiv\ 7^{4}(mod\ 13)$

.::. Mas $7^{4}\equiv\ 9(mod\ 13)$ , então concluímos que $7^{100}\equiv\ 9(mod\ 13)$ .

.::. Agora, vamos fazer $11^{2}\equiv\ 4(mod\ 13)$ .

$11^{6}\equiv\ 64(mod\ 13)$ . Mas $64\equiv\ -1(mod\ 13)$ . Então:

$11^{6}\equiv\ -1(mod\ 13)$

$11^{96}\equiv\ (-1)^{16}(mod\ 13)\Rightarrow\ 11^{96}\equiv\ 1(mod\ 13)$

$11^{100}\equiv\ 11^{4}(mod\ 13)\Rightarrow\ 11^{100}\equiv\ 3(mod\ 13)$

.::. Então, podemos combinar ambas as respostas, e fazer:

$7^{100}+11^{100}\equiv\ 9+3(mod\ 13)$ $\Rightarrow$ $7^{100}+11^{100}\equiv\ 12(mod\ 13)$

.::. Ou seja, o resto dessa divisão é igual a $12$ .

_________________________________________________________________________________

.::. Mais um exemplo: gostaria de saber o último algarismo do número $3^{300}$ .

.::. O último algarismo de um número é o resto da divisão dele por $10$ . Então, vamos passo a passo:

$3^{2}\equiv\ -1(mod\ 10)$

$(3^{2})^{150}\equiv\ (-1)^{150}(mod\ 10)$

$3^{300}\equiv\ 1(mod\ 10)$

.::. Ou seja, o último algarismo desse número é $1$ .

_________________________________________________________________________________

.::. E para calcular o resto da divisão de:

$\displaystyle\ 74892^{359}.6379^{207}.9538^{179}.3756^{729}$

por $5$ ? :OOOOO

.::. Bom, vamos começar por $74892^{359}$ . Sabemos que $\displaystyle\ 74892\equiv\ 2(mod\ 5)$ - faça os cálculos!. E também sabemos que $\displaystyle\ 2^{2}\equiv\ -1(mod\ 5)$ . Logo:

$\displaystyle\ (2^{2})^{179}\equiv\ (-1)^{179}(mod\ 5)$

$\displaystyle\ 2^{358}\equiv\ -1(mod\ 5)$

$\displaystyle\ 2.2^{358}\equiv\ 2.(-1)(mod\ 5)$

$\displaystyle\ 2^{359}\equiv\ -2(mod\ 5)\Rightarrow\ -2\equiv\ 3(mod\ 5)$

$\displaystyle\ 2^{359}\equiv\ 3(mod\ 5)\Rightarrow\ 74892^{359}\equiv\ 3(mod\ 5)$ (A).

.::. Agora, vamos passar para $\displaystyle\ 6379^{207}$ . Sabemos que $\displaystyle\ 6379\equiv\ 4(mod\ 5)$ e que $\displaystyle\ 4\equiv\ -1(mod\ 5)$ . Logo:

$\displaystyle\ 4^{206}\equiv\ (-1)^{206}(mod\ 5)$

$\displaystyle\ 4^{206}\equiv\ 1(mod\ 5)$

$\displaystyle\ 4.4^{206}\equiv\ 4.1(mod\ 5)$

$\displaystyle\ 4^{207}\equiv\ 4(mod\ 5)\Rightarrow\ 6379^{207}\equiv\ 4(mod\ 5)$ (B).

.::. Agora, faremos: $\displaystyle\ 9538^{179}$ . Bem:

$\displaystyle\ 9538\equiv\ 3(mod\ 5)$

$\displaystyle\ 3^{2}\equiv\ -1(mod\ 5)$

$\displaystyle\ (3^{2})^{89}\equiv\ (-1)^{89}(mod\ 5)$

$\displaystyle\ 3^{178}\equiv\ -1(mod\ 5)$

$\displaystyle\ 3.3^{178}\equiv\ 3.(-1)(mod\ 5)$

$\displaystyle\ 3^{179}\equiv\ -3(mod\ 5)\Rightarrow\ -3\equiv\ 2(mod\ 5)$

$\displaystyle\ 3^{179}\equiv\ 2(mod\ 5)\Rightarrow\ 9538^{179}\equiv\ 2(mod\ 5)$ (C).

.::. Por último, faremos $\displaystyle\ 3756^{729}$ . Da mesma maneira, temos:

$\displaystyle\ 3756\equiv\ 1(mod\ 5)$

$\displaystyle\ 3756^{729}\equiv\ 1(mod\ 5)$ (D).

.::. Agora, resolvendo o produto:

$\displaystyle\ 74892^{359}.6379^{207}.9538^{179}.3756^{729}\equiv\ 3.4.2.1(mod\ 5)$

$\displaystyle\ 74892^{359}.6379^{207}.9538^{179}.3756^{729}\equiv\ 24(mod\ 5)$

.::. Mas, $24\equiv\ 4(mod\ 5)$ . Então:

$\displaystyle\ 74892^{359}.6379^{207}.9538^{179}.3756^{729}\equiv\ 4(mod\ 5)$

.::. Ou seja, o resto dessa divisão é $4$ !!!!!!

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::: Um papo sobre congruências e aritmética módulo m.

Postado no Domingo, 18 Maio, 2008 de physike

.::. Sabemos que $\displaystyle 8$ dividido por $\displaystyle 7$ é igual a $\displaystyle 1$ , e o resto é $\displaystyle 1$ . Aritmeticamente, escrevemos:

$\displaystyle 8 = 7.1 + 1$

.::. Sabemos também que $\displaystyle 20$ dividido por $\displaystyle 5$ é igual a $\displaystyle 4$ e o resto é $\displaystyle 0$ . Podemos dizer que:

$\displaystyle 20 = 5.4 + 0$

.::. Nesse caso, dizemos que $\displaystyle 5$ divide $\displaystyle 20$ , ou seja, $5 | 20$ .

.::. Ou seja, dados $\displaystyle\ a\in\mathbb{Z}\ ,b\in\mathbb{Z^{*}}$ , existem $\displaystyle\ q, r\in\mathbb{Z}$ unicamente determinados tais que $\displaystyle\ a=b.q+r$ e $\displaystyle\ 0\leq\ r<a$ .

.::. Sejam, então, $\displaystyle\ a, b, m\in\mathbb{Z}\ ,m\ >\ 0$ . Dizemos que $\displaystyle\ a$ é congruente a $\displaystyle\ b$ módulo $\displaystyle\ m$ se, e somente se, $\displaystyle m$ divide $\displaystyle\ a-b$ .

::: Notação: $\displaystyle\ a\equiv\ b(mod\ m)\Leftrightarrow\ m | (a-b)$ ou $\displaystyle\ a-b=k.m\ , k\in\mathbb{Z}$ .

.::. Exemplos:

$\displaystyle\ 20\equiv\ 4(mod\ 8)$ , pois $8$ divide $20-4$

$\displaystyle\ 8\equiv\ 1(mod\ 7)$ , pois $7$ divide $8-1$

$\displaystyle\ 20\equiv\ 0(mod\ 5)$ , pois $5$ divide $20-0$

.::. Se $\displaystyle\ a\equiv\ b(mod\ m)$ e $\displaystyle\ b\equiv\ c(mod\ m)$ , então:

$\displaystyle\ a\equiv\ c(mod\ m)\Leftrightarrow\ m | (a-c)$ .

::: Demonstração:

::: $\displaystyle\ a-b=h.m\Leftrightarrow\ m|(a-b)$

::: $\displaystyle\ b-c=k.m\Leftrightarrow\ m|(b-c)$

::: $\displaystyle\ (a-b)+(b-c)=a-c\Leftrightarrow\ h.m+k.m=m.(h+k)$

Logo,

$\displaystyle\ a-c=m.(h+k)$ , ou seja, $m$ divide $a-c$ c.q.d.

.::. Por exemplo, podemos provar que $\displaystyle\forall\ n\in\mathbb{Z}$ , temos que $\displaystyle\ n\equiv\ 7(mod\ 12)\Rightarrow\ n\equiv\ 3(mod\ 4)$ .

Solução: Se $\displaystyle\ 12 | (n-7)\Leftrightarrow\ n-7=12.k$ .

::: Vamos somar $4$ a ambos os termos de $n-7=12.k$ . Assim:

$n-7+4=12.k+4\Rightarrow\ n-3=12.k+4\Rightarrow\ n-3=4(3k+1)$

::: Isso significa que $\displaystyle\ 4 | (n-3)\Rightarrow\ n\equiv\ 3(mod\ 4)$ . c.q.d.

::: Mais um teorema.

::: Se $a\equiv\ b(mod\ m)$ e $c\equiv\ d(mod\ m)$ , então:

$a\pm\ c\equiv\ b\pm\ d(mod\ m)$

::: Demonstração:

$a\equiv\ b(mod\ m)\Rightarrow\ a-b=k.m$

$c\equiv\ d(mod\ m)\Rightarrow\ c-d=h.m$

::: Somando-se agora:

$\displaystyle\ (a-b)+(c-d)=k.m+h.m\Rightarrow\ (a-b)+(c-d)=m.(k+h)$

::: Mas,

$\displaystyle\ (a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d)\Rightarrow\ (a+c)-(b+d)=m.(k+h)$ .

::: Ou seja, $\displaystyle\ m | (a+c)-(b+d)$ .

::: Assim, $a\pm\ c\equiv\ b\pm\ d(mod\ m)$ c.q.d.

::: Um teorema muito importante!

.::. Se $a\equiv\ b(mod\ m)$ , então:

$a^{n}\equiv\ b^{n}(mod\ m)$ , $\forall\ n\in\mathbb{Z+}$

::: Demonstração por indução: (clique aqui para ler o artigo sobre indução finita):

i) Para $n=1$ , temos $a^{n}\equiv\ b^{n}(mod\ m)\Rightarrow\ a\equiv\ b(mod\ m)$

ii) Para $n=k$ , temos $a^{k}\equiv\ b^{k}(mod\ m)$ => hipótese

iii) Para $n=k+1$ , temos $a^{k+1}\equiv\ b^{k+1}(mod\ m)$ => tese

::: De i) e ii), temos que $a\equiv\ b(mod\ m)$ e $a^{k}\equiv\ b^{k}(mod\ m)$ .

::: Mas, se temos $a\equiv\ b(mod\ m)$ e $c\equiv\ d(mod\ m)$ , podemos fazer:

$a.c\equiv\ b.d(mod\ m)$

::: Demonstração:

.::. Se $\displaystyle\ a-b=km$ , podemos fazer: $\displaystyle\ ac-bc=ckm$

.::. Mas, se $\displaystyle\ c-d=hm\Rightarrow\ c=hm+d$ . Logo,

$\displaystyle\ ac-(bhm+bd)=ckm\Rightarrow\ ac-bd=m(ck+bh)\Rightarrow\ m | (ac-bd)$ c.q.d.

::: Logo, para $a\equiv\ b(mod\ m)$ e $a^{k}\equiv\ b^{k}(mod\ m)$ temos:

$a^{k}.a\equiv\ b^{k}.b(mod\ m)\Rightarrow\ a^{k+1}\equiv\ b^{k+1}(mod\ m)$ c.q.d.

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::: Universos Paralelos.

Postado no Sábado, 17 Maio, 2008 de physike

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..:: Um novo tipo de função.

Postado no Sexta-Feira, 21 Dezembro, 2007 de physike

.::. Um novo tipo de função, ou uma nova maneira de enxergar funções. A Matemática é realmente maravilhosa. É possível modelar diferentes métodos de interpretação, sem que estes estejam equivocados.

.::. Bom estive imaginando uma nova maneira de enxergar uma função. Nada que seja rigoroso, nem mesmo necessita ser didático, ou “matematicamente correto”.

.::. Estamos habituados a trabalhar com funções cujos gráficos são determinados a partir de pontos obtidos pela interseção de retas perpendiculares entre si. Veja a figura abaixo:

.::. Mas, na realidade, podemos “construir” uma função da maneira que desejarmos. Por exemplo, seja uma função $\phi$ ou $f(\lambda)$ formada pela interseção de circunferências de centros:

$\displaystyle\ C_{\lambda}=(\lambda\ ,0)\\ C_{\phi}=(0,\phi)\Longrightarrow\lambda ,\phi\in\mathbb{R}$

.::. Cujos raios são, respectivamente, $\displaystyle\ |\lambda |\ e\ |\phi |$ .

.::. Nesta função, a variável independente é $\lambda$ , e a variável dependente $\phi$ . Quando se diz, por exemplo, que $\lambda$ assume um valor qualquer, devemos traçar uma circunferência de centro em $(\lambda ,0)$ de raio $\ |\lambda |$ e, para o valor obtido para $\phi$ , uma circunferência de centro $(0,\phi )$ de raio $\ |\phi |$ .

.::. Exemplo:

.::. Observemos que as circunferências se encontram nos pontos $P(x,y)$ e na origem do plano $(0,0)$ .

.::. Se $\phi$ é uma função polinomial, podemos ter:

$\phi =f(\lambda )=a_0+a_1\lambda +a_2\lambda ^{2}+\cdots\ a_n\lambda ^{n}$ , por exemplo.

.::. Mas, para termos uma noção analítica do que ocorre com tal função dispondo das notações que estamos habituados, podemos interpretá-la da seguinte forma:

.::. Sabemos que a equação reduzida de uma circunferência de centro $C(a,b)$ é dada por:

$\displaystyle\ (x-a)^{2} + (y-b)^{2}=r^{2}$

.::. Portanto, podemos fazer:

1) Para $\displaystyle\ C_{\lambda}=(\lambda\ ,0)$ :

$\displaystyle\ (x-\lambda )^{2} + (y)^{2}=\lambda ^{2}$

$\displaystyle\ x^2\ +y^2\ -2.x.\lambda\ =0$

$\displaystyle\lambda =\frac{x^2+y^2}{2x}$ (1)

1) Para $\displaystyle\ C_{\phi}=(0,\lambda )$ :

$\displaystyle\ (x )^{2} + (y-\phi)^{2}=\phi ^{2}$

$\displaystyle\ x^2\ +y^2\ -2.y.\phi\ =0$

$\displaystyle\phi =\frac{x^2+y^2}{2y}$ (2)

.::. Assim, podemos ver que tanto $\phi$ como $\lambda$ são funções do tipo $f(x,y)$ .

.::. Seja a função $\phi =a\lambda +b$ uma função do primeiro grau, tal que $a,b\in\mathbb{R}\Rightarrow\ a\neq 0$ .

.::. Substituindo as relações (1) e (2) na função acima, obtemos:

$\displaystyle\phi =a\lambda +b\Longrightarrow\frac{x^2+y^2}{2y}=a\left(\frac{x^2+y^2}{2x}\right)\ +b$

.::. Resolvendo a igualdade acima, obtemos:

$\displaystyle\ x^3-ay^3+xy^2-ax^2y-2bxy=0$

.::. Uma função analítica implícita, que depende unicamente dos coeficientes $a$ e $b$ de $\phi$ .

.::. O resultado mais belo obtido por essa função é seu gráfico. Observe alguns exemplos:

a) $\phi =\lambda +2$

b) $\phi =\lambda$

c) $\phi =-\lambda -1$

d) $\phi =-3\lambda +8$

e) $\phi =-3\lambda -3$

.::. Seja agora $\displaystyle\phi =\frac{a\lambda +b}{c\lambda +d}$ uma função composta, tal que $\displaystyle\ a,b,c,d\in\mathbb{R}\Longrightarrow\ a,c\neq 0\ e\ \lambda\neq\frac{-d}{c}$ .

.::. Substituindo as relações $\displaystyle\phi =\frac{x^2+y^2}{2y}$ e $\displaystyle\lambda =\frac{x^2+y^2}{2x}$ na função acima, obtemos:

$\displaystyle\ c(x^2+y^2)^2+2(x^2+y^2)(dx-ay)-4bxy=0$

.::. Exemplos:

a) $\displaystyle\phi =\frac{\lambda +1}{\lambda}$

b) $\displaystyle\phi =\frac{\lambda +10}{2\lambda +1}$

.::. Observação: curva muito semelhante à lemniscata de Bernoulli.

c) $\displaystyle\phi =\frac{\lambda +10}{10\lambda +1}$

.::. A lemniscata de Bernoulli é uma curva da forma $\displaystyle\ (x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)$ .

.::. É um tipo de oval de Cassini, que é definida como o lugar dos pontos do plano, cujo produto das distâncias a dois pontos fixos do plano é constante. Sendo os pontos $(a,0)$ e $(-a,0)$ e a constante for $k$ , a equação da oval será:

$\displaystyle\ [(x-a)^2+y^2].[(x+a)^2+y^2]=k^2$

.::. Para $k=a^2$ , a lemniscata é uma oval cuja equação está representada acima.

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..:: Euler Zeta Function (English Version).

Postado no Quarta-feira, 19 Dezembro, 2007 de physike

.::. Because the articles of my friend Americo Tavares, I decide write an article about the Euler zeta function, defined by:

$\displaystyle\zeta (s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+...+\frac{1}{n^{s}}+...$

.::. and it is absolutely convergent if, and only if, $s>1$ .

.::. In particular, for this article, I wish to prove the function of this beautiful relationship with the prime numbers, demonstrated by the Euler:

$\displaystyle\zeta (s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}=\displaystyle\Pi_{p\ prime}\left( 1-\frac{1}{p^{s}}\right) ^{-1}$

or,

$\displaystyle\zeta (s)=\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right) ^{-1}.\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right) ^{-1}.\left( 1-\frac{1}{5^{s}}\right) ^{-1}.\left( 1-\frac{1}{7^{s}}\right) ^{-1}.\cdots$

.::. Demonstration.

.::. We know that:

$\displaystyle\zeta (s)=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+...+\frac{1}{n^{s}}+...$ (1)

.::. Be:

$\displaystyle\frac{1}{2^{s}}\zeta (s)=\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{6^{s}}+\frac{1}{8^{s}}+...$ (2)

.::. Do it now (1) - (2):

$\displaystyle\zeta (s)-\frac{1}{2^{s}}\zeta (s)=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+...-\frac{1}{2^{s}}-\frac{1}{4^{s}}-\frac{1}{6^{s}}-\frac{1}{8^{s}}-\cdots$

.::. This implies that:

$\displaystyle\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=1+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\cdots$

.::. Be now:

$\displaystyle\frac{1}{3^{s}}\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\frac{1}{15^{s}}+\frac{1}{21^{s}}+\cdots$

.::. Do that $\displaystyle\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)-\frac{1}{3^{s}}\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)$ , in order to achieve:

$\displaystyle\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=1+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+...-\frac{1}{3^{s}}-\frac{1}{9^{s}}-\\-\frac{1}{15^{s}}-\frac{1}{21^{s}}-\cdots$

.::. Therefore, we must::

$\displaystyle\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=1+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{17^{s}}+...$

.::. According to the equation above, we do:

$\displaystyle\frac{1}{5^{s}}\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{25^{s}}+\frac{1}{35^{s}}+...$

.::. We can operate now:

$\displaystyle\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)-\frac{1}{5^{s}}\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)$

.::. Please note the result:

$\displaystyle\left( 1-\frac{1}{5^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=1+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+...-\frac{1}{5^{s}}-\\ -\frac{1}{25^{s}}-\frac{1}{35^{s}}-...$

.::. This implies that:

$\displaystyle\left( 1-\frac{1}{5^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=1+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+...$

.::. Note that the limited, we are eliminating all multiples of $\displaystyle\frac{1}{2^{s}}$ , $\displaystyle\frac{1}{3^{s}}$ , $\displaystyle\frac{1}{5^{s}}$ , and so forth, including themselves. So, if continue this way with all the cousins, there will be left only to the $1$ , for induction. So:

$\displaystyle\Pi_{p\ prime}\left(1-\frac{1}{p^{s}}\right)\zeta (s)=1$

were $\Pi$ denotes product.

$\displaystyle\Pi_{p\ prime}\left(1-\frac{1}{p^{s}}\right)\zeta (s)=1\Longrightarrow\zeta (s)=\Pi_{p\ prime}\left( 1-\frac{1}{p^{s}}\right) ^{-1}$

.::. How would demonstrate.

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..:: Imagem do dia.

Postado no Quarta-feira, 19 Dezembro, 2007 de physike

..:: Para ver a imagem no tamanho original, clique aqui.

.::. Com certeza a imagem do dia, e talvez do ano, seja a obtida por vários astrônomos através de diversos e potentes telescópios. Afinal, isto é o que constitui a ciência: o trabalho em conjunto. A imagem é de um buraco negro expelindo jatos luminescentes de matéria - constituída basicamente por partículas - no espaço cósmico, como que “metralhando” uma outra galáxia.

.::. “Já observamos fenômenos produzidos por buracos negros, mas esta é a primeira vez que os vemos atingir uma galáxia desta maneira”, revelou Dan Evans, pesquisador do Centro de Astrofísica Harvard-Smithsonian em Cambridge, que dirigiu o estudo.

.::. Estes lançamentos de partículas dos buracos negros produzem níveis elevados de radiação, que combinados com a velocidade das partículas - próxima a da luz - são capazes de danificar severamente a atmosfera dos planetas que estão em seu trajeto. Entre os possíveis efeitos estão a destruição da camada de ozônio que protege os planetas, destacou a Nasa. O fenômeno foi observado no sistema 3C321, que abriga duas galáxias em órbita uma em torno da outra.

..:: Fonte: http://afp.google.com/article/ALeqM5ism207cFIe5Y6KTAs73pjZ2TI4vQ

.::. Para a concepção da imagem, foram coletados dados de raios X - Chandra (roxo), ópticos e ultravioletas (UV) - Hubble (vermelha e laranja), e as emissões de rádio do Very Large Array (VLA) e MERLIN (azul).

.::. Esses dados mostram duas galáxias vizinhas, e o jato sendo expelido ferozmente do buraco negro do centro da galáxia do canto inferior esquerdo da imagem em direção à outra galáxia. Este jato de matéria é, assim, ”rebatido” na galáxia vizinha, assim como ocorre com o jato de água de uma mangueira que é interceptado por um muro. Neste caso, o muro gravitacional da galáxia vizinha causa perturbações drásticas no jato de matéria. Um imagem belíssima e extremamente rara, nunca obtida anteriormente.

.::. Buraco Negro é uma região do espaço onde o campo gravitacional é tão forte que nada sai dessa região, nem a luz. Um campo gravitacional forte o suficiente para impedir que a luz escape pode ser produzido, teoricamente, por grandes quantidades de matéria ou matéria em altíssimas densidades.

.::. Uma vez que nada sai de um buraco negro, nada de um buraco negro chega até nós. Resta então apenas observá-lo indiretamente, através de sua ação sobre sua vizinhança. Observa-se um buraco negro verificando os fatos e fenômenos que o rodeiam sob a ação do seu campo gravitacional.

.::. Para saber mais:

http://socrates.if.usp.br/~carvajr/buraco.html

http://www.observatorio.ufmg.br/pas19.htm

http://www.nasa.gov

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..:: Função Zeta de Euler.

Postado no Segunda-feira, 17 Dezembro, 2007 de physike

.::. Motivado pelos artigos de meu amigo Américo Tavares, resolvi escrever um artigo sobre a função zeta de Euler, definida por:

$\displaystyle\zeta (s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+...+\frac{1}{n^{s}}+...$

que é absolutamente convergente se, e somente se, $s>1$ .

.::. Em especial, para este artigo, desejo provar a belíssima relação desta função com os números primos, demonstrada pelo próprio Euler:

$\displaystyle\zeta (s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}=\displaystyle\Pi_{p\ primo}\left( 1-\frac{1}{p^{s}}\right) ^{-1}$

ou seja,

$\displaystyle\zeta (s)=\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right) ^{-1}.\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right) ^{-1}.\left( 1-\frac{1}{5^{s}}\right) ^{-1}.\left( 1-\frac{1}{7^{s}}\right) ^{-1}.\cdots$

.::. Demonstração.

.::. Sabemos que:

$\displaystyle\zeta (s)=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+...+\frac{1}{n^{s}}+...$ (1)

.::. Seja

$\displaystyle\frac{1}{2^{s}}\zeta (s)=\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+\frac{1}{6^{s}}+\frac{1}{8^{s}}+...$ (2)

.::. Façamos agora (1) - (2):

$\displaystyle\zeta (s)-\frac{1}{2^{s}}\zeta (s)=1+\frac{1}{2^{s}}+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{4^{s}}+...-\frac{1}{2^{s}}-\frac{1}{4^{s}}-\frac{1}{6^{s}}-\frac{1}{8^{s}}-\cdots$

.::. Isto implica que:

$\displaystyle\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=1+\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\cdots$

.::. Seja, agora,

$\displaystyle\frac{1}{3^{s}}\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=\frac{1}{3^{s}}+\frac{1}{9^{s}}+\frac{1}{15^{s}}+\frac{1}{21^{s}}+\cdots$

.::. Façamos $\displaystyle\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)-\frac{1}{3^{s}}\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)$ , afim de obtermos:

.::. Logo, temos que:

$\displaystyle\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=1+\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+\frac{1}{17^{s}}+...$

.::. De acordo com a relação acima, vamos fazer:

$\displaystyle\frac{1}{5^{s}}\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=\frac{1}{5^{s}}+\frac{1}{25^{s}}+\frac{1}{35^{s}}+...$

.::. Podemos, assim, operar:

$\displaystyle\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)-\frac{1}{5^{s}}\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)$

.::. Observe o resultado:

.::. Isto implica que:

$\displaystyle\left( 1-\frac{1}{5^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{3^{s}}\right)\left( 1-\frac{1}{2^{s}}\right)\zeta (s)=1+\frac{1}{7^{s}}+\frac{1}{11^{s}}+\frac{1}{13^{s}}+...$

.::. Observe que, aos poucos, estamos eliminando todos os múltiplos de $\displaystyle\frac{1}{2^{s}}$ , $\displaystyle\frac{1}{3^{s}}$ , $\displaystyle\frac{1}{5^{s}}$ , e assim sucessivamente, inclusive eles próprios. Logo, se prosseguirmos desta forma com todos os primos, haverá de restar apenas o $1$ , por indução. Assim:

$\displaystyle\Pi_{p\ primo}\left(1-\frac{1}{p^{s}}\right)\zeta (s)=1$

onde $\Pi$ denota produtório.

$\displaystyle\Pi_{p\ primo}\left(1-\frac{1}{p^{s}}\right)\zeta (s)=1\Longrightarrow\zeta (s)=\Pi_{p\ primo}\left( 1-\frac{1}{p^{s}}\right) ^{-1}$

.::. Como queríamos demonstrar.

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..:: Uma questão da UFJF - 2007.

Postado no Segunda-feira, 17 Dezembro, 2007 de physike

.::. Estava observando a prova do vestibular da Universidade Federal de Juiz de Fora / MG (UFJF) deste ano, e deparei-me com uma questão muito interessante, que dizia:

Questão 3. A área do hexágono regular ABCDEF é $180\ cm^{2}$ .

Qual a área do triângulo sombreado, em centímetros quadrados?

a) $10$

b) $15$

c) $20$

d) $25$

e) $30$

Solução:

.::. Vamos chamar o lado do hexágono regular ABCDEF de $L$ . A área do hexágono regular é dada pela fórmula:

$\displaystyle\ A_{6}=3L^{2}\frac{\sqrt{3}}{2}$

.::. Logo, podemos fazer:

$\displaystyle\ 180=3L^{2}\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\ L^{2}=40\sqrt{3}$

.::. Observemos agora que, no interior do hexágono maior, há um hexágono HIJLMN, igualmente regular, menor. Chamemos a medida de seus lados de $l$ .

.::. Queremos provar que o lado $AH$ é côngruo ao lado $FH$ . Isso é simples. A medida do ângulo interno de um hexágono regular é dada por:

$\displaystyle\ a_i=\frac{(n-2)180^{o}}{n}\Rightarrow\ a_6=120^{o}$

.::. Portanto, observe a figura abaixo:

.::. Os triângulos AHI, FHN, ENM, DML, CLJ, BJI são todos equiláteros, e as medidas de seus lados são $l$ . Utilizando a lei dos co-senos $\displaystyle\ a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc.cos\widehat{A}$ , temos: